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| Aufgabe | | bestimme die taylorreihe im punkt xo=0 von sin(x) |
hier einmal meine aufgabe:
1.) entwicklungspunkt: x0=0 gut war in der aufgabe gegeben, aber allgemein entwickel ich ja nach dem punkt für den ich die funktion genau ausrechnen kann, in diesem fall null genommen.
sin(0)=0
2.) ableitungen: werte:
f(x)= sin(x) sin(0)=0
f´(x)=cos(x) cos(0)=1
f´´(x)=-sin(x) -sin(0)=0
f´´´(x)=-cos(x) -cos(0)=-1
daraus folgt allgemein: f^(2k)(0)=0 und [mm] f^{2k+1}(0)=(-1)^k [/mm] mit k>=0
das heißt alle glieder mit geradem exponenten ergeben null und können somit weggelassen werden.
taylorformel für x0=0:
[mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{f^k(0)}{k!}*x^k +\bruch{f^(n+1)(\varepsilon)}{(n+1)!}*x^{n+1}
[/mm]
alle glieder mit ungeraden exponenten addieren:
[mm] sin(x)=x-\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^7}{7!}+...+(-1)^n*\bruch{x^(2n+1)}{(2n+1)!} [/mm] +R (restglied)
daraus folgt:
[mm] sin(x)=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{x^(2k+1)}{(2k+1)!}
[/mm]
so dazu nun meine fragen...
1.) wenn ich die taylorreihe entwickeln soll, muss ich dann entwickeln bis zu der aufsummierung wo die einzelnen glieder addiert werden oder muss ich daraus auch noch die summenformeln bestimmen die ich im letzten schritt gemacht habe.
2.) woher weiß ich ob ich den rest vernachlässigen kann. bei großen n und kleinem h kann ich den rest vernachlässigen steht in meinem skript. mir ist klar dass je mehr glieder ich addiere der rest immer kleiner wird, d.h. wenn [mm] n\to\infty [/mm] wird der rest gegen null laufen. aber im skript steht auch dass ich abschätzen muss wie groß mein fehler ist wenn ich den rest weglasse. je weniger glieder ich adiert habe, desto größer ist meiner meinung nach der fehler durch das weglassen des restgliedes. aber gibts dort ne art grenze oder so wie ich leicht abschätzen kann obs einen imensen fehler ergibt oder nicht?
3.) wonach richtet sich das wieviele ableitungen ich machen muss um die reihe aufstellen zu können. bisher war bei allen reihen 3 ableitungen. bei der tangens taylorreihe hab ich auch 3 ableitungen aber ein komillitone meinte dort müsste ich 4 ableitungen vorher machen.
vielen dank für jede antwort.
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Hallo freak-club,
> bestimme die taylorreihe im punkt xo=0 von sin(x)
> hier einmal meine aufgabe:
>
> 1.) entwicklungspunkt: x0=0 gut war in der aufgabe gegeben,
> aber allgemein entwickel ich ja nach dem punkt für den ich
> die funktion genau ausrechnen kann, in diesem fall null
> genommen.
> sin(0)=0
>
> 2.) ableitungen:
> werte:
> f(x)= sin(x)
> sin(0)=0
> f´(x)=cos(x)
> cos(0)=1
> f´´(x)=-sin(x)
> -sin(0)=0
> f´´´(x)=-cos(x)
> -cos(0)=-1
>
> daraus folgt allgemein: f^(2k)(0)=0 und [mm]f^{2k+1}(0)=(-1)^k[/mm]
> mit k>=0
>
> das heißt alle glieder mit geradem exponenten ergeben null
> und können somit weggelassen werden.
>
> taylorformel für x0=0:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^k(0)}{k!}*x^k +\bruch{f^(n+1)(\varepsilon)}{(n+1)!}*x^{n+1}[/mm]
>
> alle glieder mit ungeraden exponenten addieren:
>
> [mm]sin(x)=x-\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^7}{7!}+...+(-1)^n*\bruch{x^(2n+1)}{(2n+1)!}[/mm]
> +R (restglied)
>
>
> daraus folgt:
>
> [mm]sin(x)=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{x^(2k+1)}{(2k+1)!}[/mm]
>
> so dazu nun meine fragen...
> 1.) wenn ich die taylorreihe entwickeln soll, muss ich
> dann entwickeln bis zu der aufsummierung wo die einzelnen
> glieder addiert werden oder muss ich daraus auch noch die
> summenformeln bestimmen die ich im letzten schritt gemacht
> habe.
>
Letzteres.
>
> 2.) woher weiß ich ob ich den rest vernachlässigen kann.
> bei großen n und kleinem h kann ich den rest
> vernachlässigen steht in meinem skript. mir ist klar dass
> je mehr glieder ich addiere der rest immer kleiner wird,
> d.h. wenn [mm]n\to\infty[/mm] wird der rest gegen null laufen. aber
> im skript steht auch dass ich abschätzen muss wie groß
> mein fehler ist wenn ich den rest weglasse. je weniger
> glieder ich adiert habe, desto größer ist meiner meinung
> nach der fehler durch das weglassen des restgliedes. aber
> gibts dort ne art grenze oder so wie ich leicht abschätzen
> kann obs einen imensen fehler ergibt oder nicht?
>
Siehe hier ![[]](/images/popup.gif) Restgliedformeln
>
> 3.) wonach richtet sich das wieviele ableitungen ich machen
> muss um die reihe aufstellen zu können. bisher war bei
> allen reihen 3 ableitungen. bei der tangens taylorreihe hab
> ich auch 3 ableitungen aber ein komillitone meinte dort
> müsste ich 4 ableitungen vorher machen.
Das richtet sich danach, wie gross der Fehler maximal werden darf.
>
> vielen dank für jede antwort.
Gruss
MathePower
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