Taylor-Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | f(x)=sin(x). Man gebe die Taylorsche Formel mit Restglied für f bei Entwicklung um den Punkt [mm] x_{0}=0 [/mm] an und berechne damit den Wert von sin(0.5) bis auf einen Fehler von max. [mm] 0.5*10^{-4} [/mm] |
Hallo,
Die Taylor-Reihe aufstellen ist kein Problem, genau wie das Restglied.
Meine Idee ist folgende:
Das Restglied [mm] R_{n+1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{f(\beta)^{n+1}}{(n+1)!} [/mm] * [mm] x^{n+1} [/mm] wird maximal, wenn a.) die n+1 Ableitung von sinus = cosinus ist, da [mm] 0<\beta
b.) [mm] \beta [/mm] am größten ist
Nun hätte ich
[mm] \bruch{cos(\beta)}{(n+1)!} [/mm] * [mm] (0.5)^{n+1} \le 0.5*10^{-4}
[/mm]
Ferner gilt:
[mm] \bruch{cos(\beta)}{(n+1)!} [/mm] * [mm] (0.5)^{n+1} \le 0.5*10^{-4} [/mm] mit [mm] \beta [/mm] = [mm] 0.5*10^{-4}
[/mm]
Dann habe ich:
[mm] \bruch{ (0.5)^{n+1}}{(n+1)!} \le \bruch{0.5*10^{-4}}{cos(\beta)}
[/mm]
Wie komme ich nun an n ran ohne das auszuprobieren?
Oder kann es eher sein, dass der Weg komplett falsch ist?
Gruß und schonmal Danke für die Hilfen :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:15 Mi 22.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hattest geschrieben, dass [mm] cos(\beta) [/mm] bei [mm] \beta=0.5 [/mm] am groessten ist.
das ist falsch [mm] cos(0)=1>cos(\beta) [/mm] fuer alle [mm] \beta \in [/mm] (0,0.5]
die Ungleichung gilt nicht, sondern du willst ein n finden, so dass sie gilt. also setze das schlimmst moegliche [mm] \beta [/mm] aus dem Intervall ein also [mm] cos(\beta)=1
[/mm]
>$ [mm] \bruch{cos(\beta)}{(n+1)!} [/mm] $ * $ [mm] (0.5)^{n+1} \le >0.5\cdot{}10^{-4} [/mm] $ mit $ [mm] \beta [/mm] $ = $ [mm] 0.5\cdot{}10^{-4} [/mm] $
wie du hier auf $ [mm] \beta [/mm] $ = $ [mm] 0.5\cdot{}10^{-4} [/mm] kommst ist mir schleierhaft.
es gilt sicher in dem betrachteten Intervall
$ [mm] \bruch{cos(\beta)}{(n+1)!} [/mm] $ * $ [mm] (0.5)^{n+1} \le \bruch{1}{(n+1)!}*(0.5)^{n+1} [/mm] $
das jetzt kleiner [mm] 0.5\cdot{}10^{-4} [/mm] setzen und n ausrechnen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo und vielen Dank nochmals.
Was mich da geritten hat, wieso ich nicht sage, dass mein Restglied am größten ist, wenn [mm] \beta [/mm] = 0 ist, kann ich auch nicht mehr sagen; evtl mit sinus vertauscht???
okay, das ist nun klar.
Was noch unklar ist:
[mm] (0.5)^{n+1} \le \bruch{1}{(n+1)!}\cdot{}(0.5)^{n+1} [/mm] ist das links nicht sogar echt kleiner, da nach dem Lagrange Restglied gilt [mm] 0<\beta
[mm] 0.5\cdot{}10^{-4} [/mm] < [mm] \bruch{1}{(n+1)!}\cdot{}(0.5)^{n+1} [/mm]
das dies gilt erschließt sich mir auch. Aber wie komme ich an das n ran?
Ich weiss nicht, wie ich mit dem (n+1)! umgehe. Kannst du mir da einen Tip geben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:04 Mi 22.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
>
> Was noch unklar ist:
>
> [mm](0.5)^{n+1} \le \bruch{1}{(n+1)!}\cdot{}(0.5)^{n+1}[/mm] ist das
das ist einfach falsch fuer alle n>0
> links nicht sogar echt kleiner, da nach dem Lagrange
> Restglied gilt [mm]0<\beta
> abgeschrieben und es gilt [mm]0\le\beta\le[/mm] x ?
soweit ich mich erinnere ist das [mm] \le [/mm] kann mich aber irren.
> [mm]0.5\cdot{}10^{-4}[/mm] < [mm]\bruch{1}{(n+1)!}\cdot{}(0.5)^{n+1}[/mm]
du willst doch das umgekehrte!
[mm]0.5\cdot{}10^{-4}[/mm] < [mm]\bruch{1}{(n+1)!}\cdot{}(0.5)^{n+1}[/mm]
> das dies gilt erschließt sich mir auch. Aber wie komme ich
> an das n ran?
>
> Ich weiss nicht, wie ich mit dem (n+1)! umgehe. Kannst du
> mir da einen Tip geben?
ich wuerde durch 0.5 teilen, dann log anwenden
-4=n*log0.5-log((n+1)!)
log(n+1)!=log(n+1)+log(n)+...log1
(log zur Basis 10)
Dann einfach ein paar Werte fuer n einsetzen.
kannst du aber auch direkt in die Anfangsformel.
Besseres faellt mir grad nicht ein, aber du musst wohl nur 4 5 und 6 einsetzen.
Gruss leduart
|
|
|
|
