Taylor-Polynom Restglied < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Di 23.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | a) Berechnen Sie das Taylor-Polynom von sin(x) vom Grad 5 an der STelle [mm] x_{0}=\bruch{\pi}{2}.
[/mm]
b) Geben Sie eine Abschätzung für den Fehler im [mm] Intervall[\bruch{\pi}{4}, \bruch{3\pi}{4}] [/mm] an. |
Hallo,
ich habe die a) bereits gelöst. Hier meine Lösung:
$ [mm] 1-\bruch{1}{2}\cdot{}(x-\bruch{\pi}{2})^{2}+\bruch{1}{24}\cdot{}(x-\bruch{\pi}{2})^{4} [/mm] $
Jetzt möchte ich allerdings die b) berechnen. Wie schätze ich den Fehler ab?
Mit deiser Formel vllt:
[mm] R_{n}(x)=\bruch{f^{n+1}(a)}{(n+1)!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{n+1}
[/mm]
????
Und wie wende ich diese richtig an?
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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> a) Berechnen Sie das Taylor-Polynom von sin(x) vom Grad 5
> an der STelle [mm]x_{0}=\bruch{\pi}{2}.[/mm]
> b) Geben Sie eine Abschätzung für den Fehler im
> [mm]Intervall[\bruch{\pi}{4}, \bruch{3\pi}{4}][/mm] an.
> Hallo,
>
> ich habe die a) bereits gelöst. Hier meine Lösung:
>
> [mm]1-\bruch{1}{2}\cdot{}(x-\bruch{\pi}{2})^{2}+\bruch{1}{24}\cdot{}(x-\bruch{\pi}{2})^{4}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jetzt möchte ich allerdings die b) berechnen. Wie schätze
> ich den Fehler ab?
>
> Mit deiser Formel vllt:
>
> [mm]R_{n}(x)=\bruch{f^{n+1}(a)}{(n+1)!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{n+1}[/mm]
Das ist korrekt. Im Grunde ist es einfach das 5. Glied bzw. wenn du [mm] $f^{(0)}$ [/mm] als 1. Grad zählst eben der 6. Grad, also die 5. Ableitung und damit der 4. Term. Einziger Unterschied dieser sog. Restglieddarstellung nach Lagrange: Du hast nicht mehr [mm] $f(x_0)$ [/mm] sondern betrachtest immer einen Zwischenwert, normalerweise in der Literatur [mm] $\xi$ [/mm] genannt. Dieser Wert ist immer in einem Intervall zwischen dem kleinsten Wert und dem Entwicklungspunkt oder umgekehrt zwischen dem Entwicklungspunkt un einem höchsten Wert. Bei dir ist das Intervall ja vorgegeben. Du musst also einfach den nächsten Term deines Taylor-Polynoms aufstellen (was ja wieder einen cosinus liefert) und dir jetzt einfach überlegen, wann der gesamte Ausdruck am größten wird, denn du möchtest ja den maximalen Fehler berechnen. Daher kannst du dich meist auf die Randpunkte deines Intervalls beschränken bzw. bei diesem Beispiel sogar noch einfacher den cosinus direkt nach oben abschätzen.
>
> ????
>
> Und wie wende ich diese richtig an?
>
> Danke schonmal.
>
> Grüße
> Ali
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Di 23.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
> > a) Berechnen Sie das Taylor-Polynom von sin(x) vom Grad 5
> > an der STelle [mm]x_{0}=\bruch{\pi}{2}.[/mm]
> > b) Geben Sie eine Abschätzung für den Fehler im
> > [mm]Intervall[\bruch{\pi}{4}, \bruch{3\pi}{4}][/mm] an.
> > Hallo,
> >
> > ich habe die a) bereits gelöst. Hier meine Lösung:
> >
> >
> [mm]1-\bruch{1}{2}\cdot{}(x-\bruch{\pi}{2})^{2}+\bruch{1}{24}\cdot{}(x-\bruch{\pi}{2})^{4}[/mm]
>
>
>
> >
> > Jetzt möchte ich allerdings die b) berechnen. Wie schätze
> > ich den Fehler ab?
> >
> > Mit deiser Formel vllt:
> >
> >
> [mm]R_{n}(x)=\bruch{f^{n+1}(a)}{(n+1)!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{n+1}[/mm]
>
> Das ist korrekt. Im Grunde ist es einfach das 5. Glied bzw.
> wenn du [mm]f^{(0)}[/mm] als 1. Grad zählst eben der 6. Grad, also
> die 5. Ableitung und damit der 4. Term. Einziger
> Unterschied dieser sog. Restglieddarstellung nach Lagrange:
> Du hast nicht mehr [mm]f(x_0)[/mm] sondern betrachtest immer einen
> Zwischenwert, normalerweise in der Literatur [mm]\xi[/mm] genannt.
> Dieser Wert ist immer in einem Intervall zwischen dem
> kleinsten Wert und dem Entwicklungspunkt oder umgekehrt
> zwischen dem Entwicklungspunkt un einem höchsten Wert. Bei
> dir ist das Intervall ja vorgegeben. Du musst also einfach
> den nächsten Term deines Taylor-Polynoms aufstellen (was
> ja wieder einen cosinus liefert)
Aber die nächste Ableitung wäre doch -sinus oder? Weil das 5. Glied sah doch so aus:
[mm] \bruch{cos(\bruch{\pi}{2})}{5!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{5}
[/mm]
Wenn ich dies nun in die Formel einsetze sähe es so aus:
[mm] \bruch{-sin(\bruch{pi}{2})}{6!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{6}
[/mm]
Oder?
Dann ist das doch [mm] \bruch{-1}{720}*(x-\bruch{\pi}{2})^{6}
[/mm]
Und soll ich nun eines der Randpunkte des Intervalls einsetzten???
Oder ist das alles falsch???
> und dir jetzt einfach
> überlegen, wann der gesamte Ausdruck am größten wird,
> denn du möchtest ja den maximalen Fehler berechnen. Daher
> kannst du dich meist auf die Randpunkte deines Intervalls
> beschränken bzw. bei diesem Beispiel sogar noch einfacher
> den cosinus direkt nach oben abschätzen.
>
> >
> > ????
> >
> > Und wie wende ich diese richtig an?
> >
> > Danke schonmal.
> >
> > Grüße
> > Ali
>
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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> > > a) Berechnen Sie das Taylor-Polynom von sin(x) vom Grad 5
> > > an der STelle [mm]x_{0}=\bruch{\pi}{2}.[/mm]
> > > b) Geben Sie eine Abschätzung für den Fehler im
> > > [mm]Intervall[\bruch{\pi}{4}, \bruch{3\pi}{4}][/mm] an.
> > > Hallo,
> > >
> > > ich habe die a) bereits gelöst. Hier meine Lösung:
> > >
> > >
> >
> [mm]1-\bruch{1}{2}\cdot{}(x-\bruch{\pi}{2})^{2}+\bruch{1}{24}\cdot{}(x-\bruch{\pi}{2})^{4}[/mm]
> >
> >
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> > >
> > > Jetzt möchte ich allerdings die b) berechnen. Wie schätze
> > > ich den Fehler ab?
> > >
> > > Mit deiser Formel vllt:
> > >
> > >
> >
> [mm]R_{n}(x)=\bruch{f^{n+1}(a)}{(n+1)!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{n+1}[/mm]
> >
> > Das ist korrekt. Im Grunde ist es einfach das 5. Glied bzw.
> > wenn du [mm]f^{(0)}[/mm] als 1. Grad zählst eben der 6. Grad, also
> > die 5. Ableitung und damit der 4. Term. Einziger
> > Unterschied dieser sog. Restglieddarstellung nach Lagrange:
> > Du hast nicht mehr [mm]f(x_0)[/mm] sondern betrachtest immer einen
> > Zwischenwert, normalerweise in der Literatur [mm]\xi[/mm] genannt.
> > Dieser Wert ist immer in einem Intervall zwischen dem
> > kleinsten Wert und dem Entwicklungspunkt oder umgekehrt
> > zwischen dem Entwicklungspunkt un einem höchsten Wert. Bei
> > dir ist das Intervall ja vorgegeben. Du musst also einfach
> > den nächsten Term deines Taylor-Polynoms aufstellen (was
> > ja wieder einen cosinus liefert)
>
> Aber die nächste Ableitung wäre doch -sinus oder? Weil
> das 5. Glied sah doch so aus:
Kommt eben darauf an, wie ihr Grad definiert habt. Wenn das einfachte Polynom vom 1. Grad der Funktionswert ist, gilt ja [mm] $T_1(x)=f(x_0)$
[/mm]
Demnach heißt für mich eigentlich ein Talyorpolynom 2. Grades einmal ableiten. Wenn ihr aber - da gibt es wohl unterschiedliche Notationen - mit 5. Grad die 5. Ableitung meint, hast du recht. Also so oder so handelt es sich dann um den sin oder cos mit jeweiligem VZ.
Also ich ging jetzt aus von:
sin - 1.
cos - 2.
-sin - 3.
-cos - 4.
sin - 5. (dein letzter Term beim 5. Grad, der ja auch 1 gibt)
cos - 6. (Restgliedabschätzung)
Aber normalerweise hast du recht und man bezeichnet mit dem Taylor-Polynom 1. Grades ein Polynom von diesem Grad, und dann muss es eben mit x sein und nicht bloß der Funktionswert, da wollte ich dich nicht verunsichern. Also hast du recht, meine Zählung oben muss ergänzt werden, cos ist dann der 5. Grad und der 6. wäre auch die 6. Ableitung.
>
> [mm]\bruch{cos(\bruch{\pi}{2})}{5!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{5}[/mm]
>
> Wenn ich dies nun in die Formel einsetze sähe es so aus:
>
> [mm]\bruch{-sin(\bruch{pi}{2})}{6!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{6}[/mm]
>
> Oder?
Ja. So oder so wird der Sinus und Cosinus nach oben mit 1 abgeschätzt, damit solltest du schreiben:
[mm] $R_6(x)=| \bruch{f^{(6)}(\xi)}{6!}(x-\bruch{\pi}{2})^6|\leq{} \bruch{1}{6!}(x-\bruch{\pi}{2})^6$
[/mm]
Jetzt hast du den Sinus bereits nach oben abgeschätzt, so dass der Fehler maximal wird. Jetzt fehlt noch der Wert für x, den du einfach so aus dem Intervall wählst, dass der Fehler weiterhin maximal wird. Daher bietet sich der obere letzte Wert des Intervalls an.
>
> Dann ist das doch [mm]\bruch{-1}{720}*(x-\bruch{\pi}{2})^{6}[/mm]
>
> Und soll ich nun eines der Randpunkte des Intervalls
> einsetzten???
>
> Oder ist das alles falsch???
>
> > und dir jetzt einfach
> > überlegen, wann der gesamte Ausdruck am größten wird,
> > denn du möchtest ja den maximalen Fehler berechnen. Daher
> > kannst du dich meist auf die Randpunkte deines Intervalls
> > beschränken bzw. bei diesem Beispiel sogar noch einfacher
> > den cosinus direkt nach oben abschätzen.
> >
> > >
> > > ????
> > >
> > > Und wie wende ich diese richtig an?
> > >
> > > Danke schonmal.
> > >
> > > Grüße
> > > Ali
> >
> Danke schonmal.
>
> Grüße
> Ali
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Mi 24.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
> > > > a) Berechnen Sie das Taylor-Polynom von sin(x) vom Grad 5
> > > > an der STelle [mm]x_{0}=\bruch{\pi}{2}.[/mm]
> > > > b) Geben Sie eine Abschätzung für den Fehler im
> > > > [mm]Intervall[\bruch{\pi}{4}, \bruch{3\pi}{4}][/mm] an.
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > ich habe die a) bereits gelöst. Hier meine Lösung:
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]1-\bruch{1}{2}\cdot{}(x-\bruch{\pi}{2})^{2}+\bruch{1}{24}\cdot{}(x-\bruch{\pi}{2})^{4}[/mm]
> > >
> > >
> > >
> > > >
> > > > Jetzt möchte ich allerdings die b) berechnen. Wie schätze
> > > > ich den Fehler ab?
> > > >
> > > > Mit deiser Formel vllt:
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]R_{n}(x)=\bruch{f^{n+1}(a)}{(n+1)!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{n+1}[/mm]
> > >
> > > Das ist korrekt. Im Grunde ist es einfach das 5. Glied bzw.
> > > wenn du [mm]f^{(0)}[/mm] als 1. Grad zählst eben der 6. Grad, also
> > > die 5. Ableitung und damit der 4. Term. Einziger
> > > Unterschied dieser sog. Restglieddarstellung nach Lagrange:
> > > Du hast nicht mehr [mm]f(x_0)[/mm] sondern betrachtest immer einen
> > > Zwischenwert, normalerweise in der Literatur [mm]\xi[/mm] genannt.
> > > Dieser Wert ist immer in einem Intervall zwischen dem
> > > kleinsten Wert und dem Entwicklungspunkt oder umgekehrt
> > > zwischen dem Entwicklungspunkt un einem höchsten Wert. Bei
> > > dir ist das Intervall ja vorgegeben. Du musst also einfach
> > > den nächsten Term deines Taylor-Polynoms aufstellen (was
> > > ja wieder einen cosinus liefert)
> >
> > Aber die nächste Ableitung wäre doch -sinus oder? Weil
> > das 5. Glied sah doch so aus:
>
> Kommt eben darauf an, wie ihr Grad definiert habt. Wenn das
> einfachte Polynom vom 1. Grad der Funktionswert ist, gilt
> ja [mm]T_1(x)=f(x_0)[/mm]
>
> Demnach heißt für mich eigentlich ein Talyorpolynom 2.
> Grades einmal ableiten. Wenn ihr aber - da gibt es wohl
> unterschiedliche Notationen - mit 5. Grad die 5. Ableitung
> meint, hast du recht. Also so oder so handelt es sich dann
> um den sin oder cos mit jeweiligem VZ.
>
> Also ich ging jetzt aus von:
>
> sin - 1.
> cos - 2.
> -sin - 3.
> -cos - 4.
> sin - 5. (dein letzter Term beim 5. Grad, der ja auch 1
> gibt)
> cos - 6. (Restgliedabschätzung)
>
> Aber normalerweise hast du recht und man bezeichnet mit dem
> Taylor-Polynom 1. Grades ein Polynom von diesem Grad, und
> dann muss es eben mit x sein und nicht bloß der
> Funktionswert, da wollte ich dich nicht verunsichern. Also
> hast du recht, meine Zählung oben muss ergänzt werden,
> cos ist dann der 5. Grad und der 6. wäre auch die 6.
> Ableitung.
>
> >
> > [mm]\bruch{cos(\bruch{\pi}{2})}{5!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{5}[/mm]
> >
> > Wenn ich dies nun in die Formel einsetze sähe es so aus:
> >
> > [mm]\bruch{-sin(\bruch{pi}{2})}{6!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{6}[/mm]
> >
> > Oder?
>
> Ja. So oder so wird der Sinus und Cosinus nach oben mit 1
> abgeschätzt, damit solltest du schreiben:
>
> [mm]R_6(x)=| \bruch{f^{(6)}(\xi)}{6!}(x-\bruch{\pi}{2})^6|\leq{} \bruch{1}{6!}(x-\bruch{\pi}{2})^6[/mm]
>
> Jetzt hast du den Sinus bereits nach oben abgeschätzt, so
> dass der Fehler maximal wird. Jetzt fehlt noch der Wert
> für x, den du einfach so aus dem Intervall wählst, dass
> der Fehler weiterhin maximal wird. Daher bietet sich der
> obere letzte Wert des Intervalls an.
Ok. Danke.
Also mein Lösungsvorschlag wäre:
[mm] R_{6}(x)=|\bruch{-sin(\bruch{\pi}{2})}{6!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{6}|\le \bruch{1}{6!}*(\bruch{\pi}{4}-\bruch{\pi}{2})^{6}=\bruch{1}{720}*(-\bruch{\pi}{4})^{6}
[/mm]
Ist das so richtig? Oder bin ich ganz auf der falschen Spur???
>
>
>
> >
> > Dann ist das doch [mm]\bruch{-1}{720}*(x-\bruch{\pi}{2})^{6}[/mm]
> >
> > Und soll ich nun eines der Randpunkte des Intervalls
> > einsetzten???
> >
> > Oder ist das alles falsch???
> >
> > > und dir jetzt einfach
> > > überlegen, wann der gesamte Ausdruck am größten wird,
> > > denn du möchtest ja den maximalen Fehler berechnen. Daher
> > > kannst du dich meist auf die Randpunkte deines Intervalls
> > > beschränken bzw. bei diesem Beispiel sogar noch einfacher
> > > den cosinus direkt nach oben abschätzen.
> > >
> > > >
> > > > ????
> > > >
> > > > Und wie wende ich diese richtig an?
> > > >
> > > > Danke schonmal.
> > > >
> > > > Grüße
> > > > Ali
> > >
> > Danke schonmal.
> >
> > Grüße
> > Ali
>
Danke Danke Danke!!!
Grüße
Ali
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Das ist soweit ok, nur solltest du nicht [mm] $\pi{}/4$ [/mm] für x einsetzten, sondern $3/4 [mm] \pi [/mm] {}$. Ändert betragsmäßig nichts, aber da du keine Betragsstriche mehr geschrieben hast, würdest du jetzt -1/4 hoch 6 rechnen und da ist +1/4 einfach besser ;). Ansonsten hast du deine Abschätzung des Fehlers
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:52 Mi 24.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
woah super super super. DANKE!!!
Grüße
Ali
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