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Forum "Aussagenlogik" - Tautologie einer Formel
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Tautologie einer Formel: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:34 So 25.01.2009
Autor: stefan00

Aufgabe
Seien A, B und C Aussagen. Die Formel [mm] \neg(C [/mm] ↔ A) [mm] \wedge [/mm] ((C [mm] \to [/mm] B) [mm] \vee [/mm] (A [mm] \wedge [/mm] B [mm] \to [/mm] C)) ist äquivalent zu
[mm] \neg((A \to [/mm] C) [mm] \wedge (\neg [/mm] C [mm] \vee [/mm] A)).

Hallo,

ich habe eine kleine Verständnisschwierigkeit bei der Umformung. Ich verstehe, dass die Aussagen äquivalent sind und ich kann dies auch mittels Wahrheitstafel zeigen. Ich möchte aber den Ausdruck umformen und zeigen, dass er eine Tautologie ist.
Es geht mir um den Ausdruck:(C [mm] \to [/mm] B) ∨ (A ∧ B [mm] \to [/mm] C), dieser ist tautologisch, denn wenn B falsch ist, dann ist C [mm] \to [/mm] B zwar falsch, aber A ∧ B [mm] \to [/mm] C ist wahr und somit der ganze Ausruck auch, also ist dieser Ausdruck insgesamt tautologisch.
Ich möchte jetzt umformen:
((C [mm] \to [/mm] B) ∨ (A ∧ B [mm] \to [/mm] C))
[mm] \gdw [/mm]
[mm] (\neg [/mm] C [mm] \vee [/mm] B) [mm] \vee (\neg [/mm] (A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \vee [/mm] C)
[mm] \gdw [/mm]
[mm] \neg [/mm] C [mm] \vee [/mm] B [mm] \vee \neg [/mm] A [mm] \vee \neg [/mm] B [mm] \vee [/mm] C = [mm] \neg [/mm] A

Aber das ist doch keine Tautologie, was mache ich falsch?

Vielen Dank für eure Bemühungen.

Gruß, Stefan.
        
Bezug
Tautologie einer Formel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:54 So 25.01.2009
Autor: abakus


> Seien A, B und C Aussagen. Die Formel [mm]\neg(C[/mm] ↔ A)
> [mm]\wedge[/mm] ((C [mm]\to[/mm] B) [mm]\vee[/mm] (A [mm]\wedge[/mm] B [mm]\to[/mm] C)) ist äquivalent
> zu
>  [mm]\neg((A \to[/mm] C) [mm]\wedge (\neg[/mm] C [mm]\vee[/mm] A)).
>  
> Hallo,
>  
> ich habe eine kleine Verständnisschwierigkeit bei der
> Umformung. Ich verstehe, dass die Aussagen äquivalent sind
> und ich kann dies auch mittels Wahrheitstafel zeigen. Ich
> möchte aber den Ausdruck umformen und zeigen, dass er eine
> Tautologie ist.
>  Es geht mir um den Ausdruck:(C [mm]\to[/mm] B) ∨ (A ∧ B
> [mm]\to[/mm] C), dieser ist tautologisch, denn wenn B falsch ist,
> dann ist C [mm]\to[/mm] B zwar falsch,

Hallo, das stimmt so nicht.
Wen B falsch ist und C [mm] \to [/mm] B gilt, muss C [mm] \to [/mm] B nicht zwangsläufig falsch sein.
Dann ist ganz einfach C auch falsch.
Wenn B und C falsch sind, ist die Implikation C [mm] \to [/mm] B  wahr.
Gruß Abakus

> aber A ∧ B [mm]\to[/mm] C ist
> wahr und somit der ganze Ausruck auch, also ist dieser
> Ausdruck insgesamt tautologisch.
>  Ich möchte jetzt umformen:
>  ((C [mm]\to[/mm] B) ∨ (A ∧ B [mm]\to[/mm] C))
>  [mm]\gdw[/mm]
>  [mm](\neg[/mm] C [mm]\vee[/mm] B) [mm]\vee (\neg[/mm] (A [mm]\wedge[/mm] B) [mm]\vee[/mm] C)
>  [mm]\gdw[/mm]
>  [mm]\neg[/mm] C [mm]\vee[/mm] B [mm]\vee \neg[/mm] A [mm]\vee \neg[/mm] B [mm]\vee[/mm] C = [mm]\neg[/mm] A
>  
> Aber das ist doch keine Tautologie, was mache ich falsch?
>  
> Vielen Dank für eure Bemühungen.
>  
> Gruß, Stefan.

Bezug
                
Bezug
Tautologie einer Formel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:18 So 25.01.2009
Autor: stefan00

Hallo abakus,
> Hallo, das stimmt so nicht.
>  Wen B falsch ist und C [mm]\to[/mm] B gilt, muss C [mm]\to[/mm] B nicht
> zwangsläufig falsch sein.

hm, aber wenn doch beim Ausdruck (C [mm] \to [/mm] B) [mm] \vee [/mm] (A [mm] \wedge [/mm] B [mm] \to [/mm] C) B falsch ist, dann ist zwar C [mm] \to [/mm] B falsch, aber A [mm] \wedge [/mm] B [mm] \to [/mm] C auf jeden Fall wahr, denn A [mm] \wedge [/mm] B ist falsch und A [mm] \wedge [/mm] B [mm] \to [/mm] C damit wahr und somit (C [mm] \to [/mm] B) [mm] \vee [/mm] (A [mm] \wedge [/mm] B [mm] \to [/mm] C) ebenso. Ist C bei C [mm] \to [/mm] B falsch, dann ist der Ausdruck wahr und der Gesamtausdruck ebenso, also muss dies Gesamtaussage eine Tautologie sein.

Gruß, Stefan.
Bezug
                        
Bezug
Tautologie einer Formel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:18 Mo 26.01.2009
Autor: Herby

Hallo Stefan,

> Hallo abakus,
>  > Hallo, das stimmt so nicht.

>  >  Wen B falsch ist und C [mm]\to[/mm] B gilt, muss C [mm]\to[/mm] B nicht
> > zwangsläufig falsch sein.
>  hm, aber wenn doch beim Ausdruck (C [mm]\to[/mm] B) [mm]\vee[/mm] (A [mm]\wedge[/mm]
> B [mm]\to[/mm] C) B falsch ist, dann ist zwar C [mm]\to[/mm] B falsch, aber A
> [mm]\wedge[/mm] B [mm]\to[/mm] C auf jeden Fall wahr, denn A [mm]\wedge[/mm] B ist
> falsch und A [mm]\wedge[/mm] B [mm]\to[/mm] C damit wahr und somit (C [mm]\to[/mm] B)
> [mm]\vee[/mm] (A [mm]\wedge[/mm] B [mm]\to[/mm] C) ebenso. Ist C bei C [mm]\to[/mm] B falsch,
> dann ist der Ausdruck wahr und der Gesamtausdruck ebenso,
> also muss dies Gesamtaussage eine Tautologie sein.

Völlig korrekt  [daumenhoch]


Liebe Grüße
Herby
Bezug
        
Bezug
Tautologie einer Formel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:12 So 25.01.2009
Autor: abakus


> Seien A, B und C Aussagen. Die Formel [mm]\neg(C[/mm] ↔ A)
> [mm]\wedge[/mm] ((C [mm]\to[/mm] B) [mm]\vee[/mm] (A [mm]\wedge[/mm] B [mm]\to[/mm] C)) ist äquivalent
> zu
>  [mm]\neg((A \to[/mm] C) [mm]\wedge (\neg[/mm] C [mm]\vee[/mm] A)).
>  
> Hallo,
>  
> ich habe eine kleine Verständnisschwierigkeit bei der
> Umformung. Ich verstehe, dass die Aussagen äquivalent sind
> und ich kann dies auch mittels Wahrheitstafel zeigen. Ich
> möchte aber den Ausdruck umformen und zeigen, dass er eine
> Tautologie ist.
>  Es geht mir um den Ausdruck:(C [mm]\to[/mm] B) ∨ (A ∧ B
> [mm]\to[/mm] C), dieser ist tautologisch, denn wenn B falsch ist,
> dann ist C [mm]\to[/mm] B zwar falsch, aber A ∧ B [mm]\to[/mm] C ist
> wahr und somit der ganze Ausruck auch, also ist dieser
> Ausdruck insgesamt tautologisch.
>  Ich möchte jetzt umformen:
>  ((C [mm]\to[/mm] B) ∨ (A ∧ B [mm]\to[/mm] C))
>  [mm]\gdw[/mm]
>  [mm](\neg[/mm] C [mm]\vee[/mm] B) [mm]\vee (\neg[/mm] (A [mm]\wedge[/mm] B) [mm]\vee[/mm] C)
>  [mm]\gdw[/mm]
>  [mm]\neg[/mm] C [mm]\vee[/mm] B [mm]\vee \neg[/mm] A [mm]\vee \neg[/mm] B [mm]\vee[/mm] C = [mm]\neg[/mm] A
>  
> Aber das ist doch keine Tautologie, was mache ich falsch?

Der Ausdruck [mm]\neg[/mm] C [mm]\vee[/mm] B [mm]\vee \neg[/mm] A [mm]\vee \neg[/mm] B [mm]\vee[/mm] C ist nicht  [mm]\neg[/mm] A,
sondern (unter Ausnutzung, dass z.B. (B [mm]\vee \neg[/mm]B) = "WAHR")
"WAHR" [mm]\vee[/mm]  "WAHR" [mm]\vee[/mm] [mm]\neg[/mm] A, und das ist immer WAHR.
Gruß Abakus


>  
> Vielen Dank für eure Bemühungen.
>  
> Gruß, Stefan.

Bezug
                
Bezug
Tautologie einer Formel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:22 Mo 26.01.2009
Autor: stefan00

Hallo abakus,
>  Der Ausdruck [mm]\neg[/mm] C [mm]\vee[/mm] B [mm]\vee \neg[/mm] A [mm]\vee \neg[/mm] B [mm]\vee[/mm] C
> ist nicht  [mm]\neg[/mm] A,
>  sondern (unter Ausnutzung, dass z.B. (B [mm]\vee \neg[/mm]B) =
> "WAHR")
>  "WAHR" [mm]\vee[/mm]  "WAHR" [mm]\vee[/mm] [mm]\neg[/mm] A, und das ist immer WAHR.

ja, natürlich, das ist ja eine Oder-Verknüpfung, oh mann, da war ich aber blind.

Besten Dank, Gruß, Stefan.
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