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| Aufgabe | Gegeben:
Kugel
K: [mm] (\overrightarrow{OX})^{2}=225
[/mm]
Punkte:
[mm] B_{1}(2|10|11)
[/mm]
[mm] B_{2}(2|-14|5)
[/mm]
Tangentialebenen der Kugel durch die Punkte:
[mm] E_{1}:\overrightarrow{OX}\*\vektor{2 \\ 10 \\ 11}=225
[/mm]
[mm] E_{2}:\overrightarrow{OX}\*\vektor{2 \\ -14 \\ 5}=225
[/mm]
Gib die Mittelpunkte aller Kugeln mit dem Radius 15 an, welche die beiden Ebenen als Tangentialebenen haben. |
Hallo,
also die oben gestellte Aufgabe ist nur ein Teil der gesamten Aufgabe. Meine vorherigen Ergebnisse habe ich oben hingeschrieben; die müssten auch richtig sein.
Bei der Aufgabe komme ich allerdings nicht wirklich voran. Zuerst dachte ich, dass es nur die eine Kugel geben müsste, da die Ebenen nicht parallel sind, aber es müsste eigentlich doch mehrere geben.
Ich würde erwarten, dass als Ergebnis eine Gerade herauskommt, auf der die Mittelpunkte liegen. Für alle Mittelpunkte müsste gelten, dass sie den Abstand 15 von beiden Ebenen haben.
Aber ich komme irgendwie nicht auf einen rechnerischen Ansatz.
Kann mir da vielleicht jemand auf die Sprünge helfen?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Do 25.01.2007 | | Autor: | chrisno |
Ich habe nun nichts nachgerechnet, aber wenn das alles richtig ist, dann hast Du mit der Geraden recht. Stell Dir eine V-förmige Rinne vor, in der die Kugel rollt. Allerdings mußt Du sie noch nach unten erweitern, so dass sie x-förmig wird und es insgesamt vier Geraden gibt (oder wird dies von der Aufgabenstellung verhindert?).
Um an die Gerade zu kommen, hast Du ein symmetrisches Viereck, das durch den Schnitt durch die Ebenen und die beiden Lote vom Mittelpunkt der Kugel zu den Ebenen gebildet wird. Wegen der Symmetrie reduziert sich das Problem auf ein Dreieck, von dem Du drei Winkel und eine Seitenlänge kennst.
Das müßte erst einmal reichen.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 Fr 26.01.2007 | | Autor: | riwe |
hallo chrisno,
kannst du mir das für eine gerade vorrechnen?
danke schön
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Fr 26.01.2007 | | Autor: | chrisno |
zum konkreten Vorrechnen fehlt mir nun die Zeit.
Die Schritte:
Aus den Normalenvektoren der Ebenen erhält man den Schnittwinkel. Diesen halbieren. Die Länge der einen Dreiecksseite ist der Rugelradius. Damit hat man ein rechtwinkliges Dreieck, mit dem Kugelradius als einer Kathete. Die fehlenden Seitenlängen kann man nun mit dem Sinussatz ausrechnen.
Dann weiß man, in welchem Abstand von der Schnittgeraden der Ebenen man das Lot mit der Länge des Kugelradius errichten muß, um zu einem Punkt der gesuchten Gerade zu kommen.
Wie schon angemerkt: Die Version mit den parallelen Ebenen gefällt mir besser.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:15 Sa 27.01.2007 | | Autor: | riwe |
> zum konkreten Vorrechnen fehlt mir nun die Zeit.
> Die Schritte:
> Aus den Normalenvektoren der Ebenen erhält man den
> Schnittwinkel. Diesen halbieren. Die Länge der einen
> Dreiecksseite ist der Rugelradius. Damit hat man ein
> rechtwinkliges Dreieck, mit dem Kugelradius als einer
> Kathete. Die fehlenden Seitenlängen kann man nun mit dem
> Sinussatz ausrechnen.
> Dann weiß man, in welchem Abstand von der Schnittgeraden
> der Ebenen man das Lot mit der Länge des Kugelradius
> errichten muß, um zu einem Punkt der gesuchten Gerade zu
> kommen.
> Wie schon angemerkt: Die Version mit den parallelen Ebenen
> gefällt mir besser.
intuitiv würde ich sagen, dass man so nicht zu einem punkt in R3 kommt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:22 So 28.01.2007 | | Autor: | chrisno |
Da binich wie öfter wohl zu knapp.
Es sind gegeben: die beiden Ebenen mit ihrer Schnittgerade.
Von einem beliebigen Punkt der Schnittgerade wird innerhalb einer der Ebenen liegend eine Senkrechte errichtet. Von der Schnittgeraden ausgehend wird auf dieser Senkrechten eine Strecke a abgetragen. Am Endpunkt dieser Strecke wird ein Lot errichtet und auf hier vom Lotfußpunkt aus der Radius r abgetragen.
a wird aus der Dreiecksberechnung gewonnen.
Probleme mit der Eindeutigkeit gibt es nur bei den Richtungen, in denen man die Strecken abträgt. Da muß man sich richtig entscheiden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 So 28.01.2007 | | Autor: | riwe |
naja so ungefähr habe ich es mir ja auch vorgestellt,
probleme gibt es wohl auch in R3 mit der eindeutigkeit, eine senkrechte gerade auf eine gerade zu konstruieren, und das ganze noch dazu gleich 4 mal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 So 28.01.2007 | | Autor: | chrisno |
Dadurch, dass die Gerade in der Ebene liegen muß, ist das ein R2-Problem.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:52 Fr 26.01.2007 | | Autor: | riwe |
> Gegeben:
> Kugel
> K: [mm](\overrightarrow{OX})^{2}=225[/mm]
> Punkte:
> [mm]B_{1}(2|10|11)[/mm]
> [mm]B_{2}(2|-14|5)[/mm]
> Tangentialebenen der Kugel durch die Punkte:
> [mm]E_{1}:\overrightarrow{OX}\*\vektor{2 \\ 10 \\ 11}=225[/mm]
>
> [mm]E_{2}:\overrightarrow{OX}\*\vektor{2 \\ -14 \\ 5}=225[/mm]
>
> Gib die Mittelpunkte aller Kugeln mit dem Radius 15 an,
> welche die beiden Ebenen als Tangentialebenen haben.
mein geometrisches verständnis versagt bei den dreiecken und winkeln, diesen lösungsweg verstehe ich leider nicht.
ich habe darum einen anderen "trivialen" weg eingeschlagen:
1) baue die ebenen, die von der jeweiligen tangentialebene den abstand 15 haben.
[mm] E_{11}:2x+10y+11z=0
[/mm]
[mm] E_{12}:2x+10y+11z=450
[/mm]
[mm] E_{21}:2x-14y+5z=0
[/mm]
[mm] E_{22}:2x-14y+5z=450
[/mm]
2) bestimme nun die 4 schnittgeraden, auf denen liegen die gesuchten kugelmittelpunkte.
damit bekomme ich:
[mm] g_1:\vec{x}=t\vektor{17\\1\\-4}
[/mm]
auf dieser geraden liegt die ursprüngliche kugel
[mm] g_2:\vec{x}=\vektor{412.5\\0\\-75}+t\vektor{17\\1\\-4}
[/mm]
[mm] g_3:\vec{x}=\vektor{-187.5\\0\\75}+t\vektor{17\\1\\-4}
[/mm]
[mm] g_4:\vec{x}=\vektor{225\\0\\0}+t\vektor{17\\1\\-4}
[/mm]
durch einsetzen in die beiden tangentialebenen sieht man, dass es stimmt,
hoffentlich
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Hallo,
vielen Dank euch beiden!! Den Ansatz von chrisno finde ich sehr anschaulich und hat mir schnell deutlich gemacht, dass ich vier Geraden suche. Von der Rechnung her kann ich riwes Ansatz aber sehr gut nachvollziehen! Ich habe mir das auch nochmal mit einem Programm zeichnen lassen und das Ergebnis klingt plausibel. Ich werde das nun alles nochmal Stück für Stück durchrechnen...
Vielen Dank!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Fr 26.01.2007 | | Autor: | chrisno |
Diese Variante gefällt mir auch besser.
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