Tangentialebene an Graphen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:02 Sa 17.05.2008 | | Autor: | Blacky |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] definiert durch [mm]f(x,y)=x^4+4*y^2[/mm].
Bestimmen sie die Gleichung der Tangentialebene an den Graphen von f in der Form [mm]z=g(x,y)[/mm] in den folgenden Punkten [mm](a,f(a))\in\IR^3[/mm]; a=(1,0,1), a=(0,1,4); a=(1,1,5) (also 3 unterschiedliche Aufgaben) |
Guten Tag!
Ich habe mir folgende Artikel zu diesem Thema bereits durchgelesen:
hier
und hier
und hier
Das könnte ich auch auf ein Beispiel übertragen in dem ich einen festen Punkt (x,y) gegeben hätte, aber die Punkte im [mm] \IR^3 [/mm] verwirren mich. Denn wenn ich für x den Vektor a einsetze hätte ich den Vektor (bzw. Punkt) hoch 4. Und jetzt weiß ich nicht, wie ich hier ansetzen muss.
Noch eine Frage: Meine Funktion f hat ja nur x und y Komponente. Wenn ich nun den Punkt aus dem [mm] \IR^3 [/mm] einsetze kann ich einfach die x und y Komponente nehmen? also [mm] f(1,0,1)=1^4+4*0^2=1 [/mm] ?
Bitte helft mir 
lg, Blacky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 Sa 17.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] definiert durch [mm]f(x,y)=x^4+4*y^2[/mm].
>
> Bestimmen sie die Gleichung der Tangentialebene an den
> Graphen von f in der Form [mm]z=g(x,y)[/mm] in den folgenden Punkten
> [mm](a,f(a))\in\IR^3[/mm]; a=(1,0,1), a=(0,1,4); a=(1,1,5) (also 3
> unterschiedliche Aufgaben)
>
> Guten Tag!
>
> Ich habe mir folgende Artikel zu diesem Thema bereits
> durchgelesen:
>
> hier
>
> und hier
>
> und hier
>
> Das könnte ich auch auf ein Beispiel übertragen in dem ich
> einen festen Punkt (x,y) gegeben hätte, aber die Punkte im
> [mm]\IR^3[/mm] verwirren mich. Denn wenn ich für x den Vektor a
> einsetze hätte ich den Vektor (bzw. Punkt) hoch 4. Und
> jetzt weiß ich nicht, wie ich hier ansetzen muss.
So, wie die Aufgabe dasteht, hat sie Formulierungsfehler, denn erst ist [mm] $a\in \IR^2$, [/mm] dann plötzlich [mm] $a\in \IR^3$. [/mm] Verwirrend.
Gemeint ist dies: die Funktion $z=f(x,y)$ definiert eine Fläche im [mm] $\IR^3$. [/mm] Du sollst dir nun drei Punkte auf dieser Fläche betrachten und die zugehörigen Tangentialebenen angeben. Die Punkte liegen im [mm] $\IR^3$, [/mm] denn die Fläche liegt im [mm] $\IR^3$. [/mm]
Zum Beispiel: aus x=1 und y=0 ergibt sich $z=f(1,0)=1$. Der Punkt auf der Fläche ist also $(1,0,1)$. Damit hast du schon einmal einen Punkt in der Tangentialebene, denn diese muss die Fläche in diesem Punkt berühren. Jetzt brauchst du für deine Fläche noch zwei Richtungsvektoren. Dazu musst du die partiellen Ableitungen von f ausrechnen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Sa 17.05.2008 | | Autor: | Blacky |
Hallo rainer,
vielen Dank für deine Antwort. Aber ich glaube ich soll die Tangentialebene nicht in Vektorschreibweise sondern wirklich als g(x,y) Gleichung darstellen. Dein Beitrag hat mich, denke ich, auf die richtige Fährte geführt!
also habe ich genommen:
1)
P=(1,0)
f(1,0)=1
grad f(1,0)=(4,0)
--> [mm] g(x,y)=1+(4,0)*\vektor{x-1 \\ y}=4*x-3
[/mm]
2)
P=(0,1)
f(0,1)=4
grad f(0,1)=(0,8)
--> [mm] g(x,y)=4+(0,8)*\vektor{x \\ y-1}=8*y-4
[/mm]
3)
P=(1,1)
f(1,1)=5
grad f(1,1)=(4,8)
--> [mm] g(x,y)=5+(4,8)*\vektor{x-1 \\ y-1}=4*x+8*y-7
[/mm]
Ist das so richtig? Also das letzte könnte ja stimmen, aber die ersten beiden sind ja nur Geraden... Also irgendwo ist da wohl noch ein Denkfehler.
lg, blacky
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Hallo Blacky,
> Hallo rainer,
>
> vielen Dank für deine Antwort. Aber ich glaube ich soll die
> Tangentialebene nicht in Vektorschreibweise sondern
> wirklich als g(x,y) Gleichung darstellen. Dein Beitrag hat
> mich, denke ich, auf die richtige Fährte geführt!
>
> also habe ich genommen:
>
> 1)
> P=(1,0)
>
> f(1,0)=1
> grad f(1,0)=(4,0)
>
> --> [mm]g(x,y)=1+(4,0)*\vektor{x-1 \\ y}=4*x-3[/mm]
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 2)
>
> P=(0,1)
> f(0,1)=4
> grad f(0,1)=(0,8)
>
> --> [mm]g(x,y)=4+(0,8)*\vektor{x \\ y-1}=8*y-4[/mm]
Stimmt.
>
> 3)
> P=(1,1)
> f(1,1)=5
> grad f(1,1)=(4,8)
>
> --> [mm]g(x,y)=5+(4,8)*\vektor{x-1 \\ y-1}=4*x+8*y-7[/mm]
Stimmt.
>
> Ist das so richtig? Also das letzte könnte ja stimmen, aber
> die ersten beiden sind ja nur Geraden... Also irgendwo ist
> da wohl noch ein Denkfehler.
>
> lg, blacky
>
>
>
Gruß
MathePower
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