Tangential und Normalraum < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gebe Tangential- und Normalraum in einem beliebigen Punkt (x,y,z) [mm] \in E/H_c [/mm] an:
$a.) [mm] \; \; E:=\{ (x,y,z)\in\IR^3 | \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\}$
[/mm]
$b.) [mm] \; \; H_c:=\{ (x,y,z)\in\IR^3 | x^2+y^2-c^2=z^2\} [/mm] , c>0$ |
Hallo,
ich wollte mal fragen, ob ich die Aufgabe soweit richtig gelöst habe.
zua.) Es gilt [mm] $E=f^{-1}(0)$ [/mm] für [mm] $f(x,y,z)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1$
[/mm]
Dann ist [mm] $\nabla [/mm] f [mm] =\left( \frac{2x}{a^2}, \frac{2y}{b^2}, \frac{2z}{c^2} \right)$
[/mm]
Nun gilt [mm] $T_{z_0}S [/mm] = [mm] \{ v\in\IR^{n+l} | Df(z_0)*v=0}=ker Df(z_0)$
[/mm]
Also hier alle [mm] (v_1,v_2,v_3)\in\IR^3 [/mm] sodass [mm] \frac{v_1x}{a^2}+\frac{v_2y}{v^2}+\frac{v_3z}{c^2}=0
[/mm]
Was ja offensichtlich eine 2-dim Hyperebene darstellt. Würde also passen. Und der Normalraum ist ja einfach der Span der Gradienten, also hier:
$span [mm] \{ \left( \frac{2x}{a^2}, \frac{2y}{b^2}, \frac{2z}{c^2} \right) \} [/mm] = t* [mm] \left( \frac{x}{a^2}, \frac{y}{b^2}, \frac{z}{c^2} \right)$ [/mm] mit [mm] t\in\IR
[/mm]
Teil b dann analog:
[mm] f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2-c^2
[/mm]
[mm] \nabla [/mm] f= (2x, 2y, -2z)
[mm] T_{x,y,z}S= \{ v\in\IR^3 | 2v_1x+2v_2y-2v_3z=0 \} [/mm]
[mm] T^{\bot}_{x,y,z}S= [/mm] span(2x,2y,-2z) = [mm] t*\vektor{x \\ y \\-z}, \; t\in\IR
[/mm]
Ist es richtig, dass Tangential und Normalraum unabhängig von c sind? Das wundert mich etwas...
Danke fürs Drüberschauen,
viele Grüße
Patrick
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Nur zu deiner letzten Frage (den Rest habe ich mir jetzt nicht gründlich genug überlegt...): Sind sie das wirklich? Du musst bedenken, dass ja nur bestimmte Tripel (x, y, z) in Frage kommen: Wenn du x, y kennst, kannst du z - wenn auch nicht eindeutig - bestimmen, aber c geht dabei ein.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:45 Mo 01.06.2009 | | Autor: | XPatrickX |
Ahja stimmt, ich kann ja nur bestimmt x,y,z nehmen und diese hängen ja dann von c ab. Danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Do 04.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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