Tangentenkonstruktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Punkte P (u/f(u)) und Q (u-1/0) sind gegeben. Außerdem ein Graph K mit
[mm] K(u)=e^u. [/mm] Wie kann man nun mittels der beiden Punkte P und Q in einem gegebenen Punkt die Tangente an K konstruieren. |
Diese Aufgabe war die letzte Teilaufgabe einer Aufgabe, bei der man allgemein die Tangentengleichung in einem Punkt an einer natürlichen Exponentialfunktion bestimmen soll. Die vorrangegangen Aufgaben konnte ich lösen. Hier hab ich jetzt allerdings Probleme. Kann ich die Aufgabe mit Hilfe momentanen Änderungsrate lösen. Also die Ableitung der Geraden durch die Punkte P und Q bestimmen und dann in die Tangentengleichung y=mx+c einsetzen? Aber irgendwie kann das ja auch nicht stimmen...
Vielen Dank
|
|
| |
|
Hallo,
> Die vorrangegangen Aufgaben konnte ich lösen. Hier hab ich
> jetzt allerdings Probleme. Kann ich die Aufgabe mit Hilfe
> momentanen Änderungsrate lösen. Also die Ableitung der
> Geraden durch die Punkte P und Q bestimmen und dann in die
> Tangentengleichung y=mx+c einsetzen? Aber irgendwie kann
> das ja auch nicht stimmen...
doch: mache das mal, und berechne anschließend den Schnittpunkt dieser allgemeinen Tangente mit der x-Achse. Du wirst etwas erstaunliches feststellen, was in der Tat auch mit der Änderungsrate der exp-Funktion zu tun hat.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
also ich mache u-1=0 und f(u)=u. Dann hab ich ja u=1. Ist die Tangentengleichung durch P und Q dann y=x+c? Und wenn ich dann den Schnittpunkt mit der x-Achse berechne, also x=0, dann ist y=0? Ich komm nicht drauf...
|
|
|
| |
|
Hallo,
stelle zunächst die allgemeine Tangentengleichung an das Schaubild der Exponentialfunktion
[mm]K(x)=e^x[/mm]
auf, und zwar mittels der allgemeinen Tangentengleichung
[mm]t: y=f'(u)*(x-u)+f(u)[/mm]
Das solltest du selbst hinbekommen. Poste dein Ergebnis, dann rechnen wir weiter.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
[mm] f(t)=e^u [/mm] (1+x-u)?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> [mm]f(t)=e^u[/mm] (1+x-u)?
nein. Diue Ableitung der Exponentialfunktion ist wieder die Exponentialfunktion. Wenn man das verwendet, dann ist die Gleichung der allgemeinen Tangente
t: [mm] y=e^u*(x-u)+e^u=e^u*x-u*e^u+e^u
[/mm]
Von dieser Tangente benötigst du jetzt die Nullstelle, also den Schnittpunkt mit der x-Achse. Weißt du, wie das geht?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
aber meine tangentengleichung ist doch dieselbe, ich hab ja nur ausgeklammert...
Die x- Koordinate von Q ist ja die Nullstelle: x=u-1
|
|
|
| |
|
Hallo,
> aber meine tangentengleichung ist doch dieselbe, ich hab ja
> nur ausgeklammert...
nur dass links f(t) steht und man Geraden üblicherweise in der Form y=m*x+b angibt.
> Die x- Koordinate von Q ist ja die Nullstelle: x=u-1
Genau. Und was sagt dir das jetzt für deine Konstruktionsaufgabe?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
y=m(u-1)+c? Bedeutet das, dass ich von jedem beliebigen Punkt auf K die
x-Koordinate nehme und dann 1 subtrahiere?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> y=m(u-1)+c? Bedeutet das, dass ich von jedem beliebigen
> Punkt auf K die
> x-Koordinate nehme und dann 1 subtrahiere?
na ja, das ist ein Anfang. 
Die korrekte Rechnung hierzu lautet übrigens:
[mm] e^u*(x-u)+e^u=0
[/mm]
x-u=-1
x=u-1
Versuche, gründlicher zu arbeiten und präzisere Schlüsse zu ziehen: dein Resultat bedeutet, dass jede Tangente an das Schaubild der Exponentialfunktion die x-Achse genau eine Längeneinheit links vom Berührpunkt schneidet. Man kann die Tangente also einfach konstruieren, indem man diesen Schnittpunkt markiert und ihn mit dem (gegebenen) Berührpunkt verbindet.
Gruß, Diophant
PS: Du könntest du deine Rückfragen besser als Fragen deklarieren, und nicht als Mitteilungen. Denn sonst erscheint dein Thread nicht in der Liste der Threads mit offenen Fragen, obwohl du ja ein Frage hast.
|
|
|
| |
|
Ok, vielen Dank für die Hilfe!
|
|
|
|
