Tangentengleichungen bestimmen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 So 11.09.2005 | | Autor: | trully |
Hallo
Ermitteln sie die Gleichungen der Tangenten vom Punkt (-1;-2) an den Graphen der Funktion f(x) = 1/4x²!
(Errstellen sie zunächst eine Skizze!)
Die Skizze ist klar Aber wie komme ich auf die Tangentengleichungen ?
Würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte .
Danke im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo trully,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo
>
> Ermitteln sie die Gleichungen der Tangenten vom Punkt
> (-1;-2) an den Graphen der Funktion f(x) = 1/4x²!
>
> (Errstellen sie zunächst eine Skizze!)
>
> Die Skizze ist klar Aber wie komme ich auf die
> Tangentengleichungen ?
Überlege, was du über die Tangenten weißt:
* sie gehen durch den Punkt (-1;-2) und durch den Berührpunkt [mm] B(x_B;f(x_B) [/mm] ) auf dem Graphen.
* sie haben dieselbe Steigung wie der Graph in [mm] B(x_B;f(x_B) [/mm] ).
Kannst du diese Eigenschaften mal in Gleichungen umsetzen?
Dann schaun wir mal weiter.
>
> Würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte .
>
> Danke im Vorraus
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 So 11.09.2005 | | Autor: | trully |
Erstmal danke für deine Antwort
Ich bin mir nich ganz sicher was du damit meinst hab mal nen Versuch gestartet weiß aber nich ob das richtig ist:
y-2 = [mm] \bruch{f(xB)-(-2)}{xB-(-1)}*(x-(-1))
[/mm]
freu mich über ne Antwort
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 So 11.09.2005 | | Autor: | Fugre |
> Erstmal danke für deine Antwort
>
> Ich bin mir nich ganz sicher was du damit meinst hab mal
> nen Versuch gestartet weiß aber nich ob das richtig ist:
>
>
> y-2 = [mm]\bruch{f(xB)-(-2)}{xB-(-1)}*(x-(-1))[/mm]
>
>
> freu mich über ne Antwort
Hallo Trully,
da die Geraden Tangenten sind, weißt du, dass ihre
Steigung gleich der Steigung der Parabel in den
Berührpunkten ist. Und die ist wiederrum gleich
der ersten Ableitung, somit gilt für die Steigung:
[mm] $m_1=f'(x_{B_1})$
[/mm]
und
[mm] $m_2=f'(x_{B_2})$
[/mm]
Vielleicht hilft dir das ja schon weiter, versuche jetzt
am besten noch die anderen Informationen zu
Gleichungen zu verwerten.
Liebe Grüße
Nicolas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 So 11.09.2005 | | Autor: | trully |
das hilft mir leider auch nicht viel weiter
da ich keine Berührungsbunkte habe
Es ist mir schon klar das die erste ableitung der anstieg der Funktion ist aber ich hab wiegesagt keinen punkt gegeben
Naja hoffe noch auf ne Antwort
Danke erstmal
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 So 11.09.2005 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
natürlich ist der Punkt nicht gegeben, denn der soll ja erst berechnet werden. Was Du aber weisst, ist, dass die Steigung der Tangentengerade und die Steigung der Kurve in diesem noch unbekannten Punkt gleich sein müssen.
Setzt man die Ableitung der Kurve und die Steigung der Geraden gleich, so kann man doch wenigstens schon mal die x-Koordinate berechnen (Es gibt zwei davon, wie wir wissen und was das für die zu lösende Gleichung heisst, kannst Du Dir sicher denken).
Hoffe das hilft weiter. Wenn die x-Koordinate dann bekannt ist, kann man sie einfach in die Kurvengleichung einsetzen und erhält dadurch die y-Koordinate.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 So 11.09.2005 | | Autor: | trully |
Woher nehme ich aber jetzt die Steigung der Geraden
Die Steigung der Geraden ist doch die 1. Ableitung [mm] \bruch{1}{2}x
[/mm]
habs auch schon versucht mit folgender gleichung
y-y0=m(x-x0)
Kommt aber keine vernünftige Gleichung raus
ich bin grad etwas am verzweifeln
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 So 11.09.2005 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo trully!
Das Ganze ist ein kleines Detektivspiel.
Tun wir mal so, als hätten wir unseren Hauptverdächtigen, den Berührpunkt [mm] $(x_B,f(x_b))$ [/mm] bereits.
Dann wissen wir, dass die Geradengleichung die Form
$g(x) = [mm] \bruch{1}{2}*x_B*x [/mm] + b = [mm] f'(x_B)*x [/mm] + b$ hat, wobei wir b noch nicht kennen.
Aber wir kennen einen Punkt, der auf dieser Geraden liegt: $(-1,-2)$, also können wir ihn in die Geradengleichung einsetzen und unser b (in Abhängigkeit von [mm] $x_B$) [/mm] bestimmen.
Dann kennen wir aber noch einen zweiten Punkt auf der Geraden, nämlich den Verdächtigen [mm] $(x_B,f(x_B))$.
[/mm]
Wenn wir diesen Punkt mit bereits bestimmtem b einsetzen, erhalten wir gerade [mm] $x_B$ [/mm] und somit die erste Hälfte der Lösung.
greetz
AT-Colt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 So 11.09.2005 | | Autor: | trully |
Danke
mag zwar sein dass du mich jetzt für bescheuert hältst aber das begreif ich trotzdem nich könntest du das mal bitte etwas ausführlicher schreiben
mit den eingesetzten werten
würd mich freuen
Mfg trully
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 So 11.09.2005 | | Autor: | Infinit |
Hallo Trully,
die Antwort von AT-Colt ist in sich richtig, passt aber nicht ganz zu dem von Dir gewählten Ansatz, auf dem man auch ans Ziel kommt.
Ich versuche deshalb einmal mit Deinem Ansatz und Deiner Schreibweise weiterzukommen.
Also, wie Du richtig in Deiner Mail sagtest, kann man die Gleichung der Geraden durch
[mm] y-y_{0} = m (x-x_{0}) [/mm]
darstellen, wobei [mm] x_{0} [/mm] und [mm] y_{0} [/mm] die Koordinaten des Punktes sind, den Du schon kennst, nämlich (-1,-2). Die Größe m ist die Steigung der Geraden, die durch den Punkt [mm] x_{0}, y_{0} [/mm] und den unbekannten Berührpunkt [mm] x_{B}, y_{B} [/mm] geht. m lässt sich also demzufolge als
[mm] m = \bruch{y_{B} - y_{0}}{x_{B}-x_{0}} [/mm]
darstellen. Wie groß ist jetzt m?
Nun, m entspricht im Berührpunkt der Steigung der Kurve, die Du ja schon richtig mit
[mm] y^{'}(x)= \bruch{1}{2} x [/mm]
angegeben hattest. Wenn Du nun die letzte Gleichung in die obige Gleichung einsetzt, hast Du eine Gleichung mit den Koordinaten des bekannten Punktes (-1,-2) und des unbekannten Berührpunktes. Den y-Wert des unbekannten Berührpunktes kennst Du aber auch, er ist nämlich durch die Gleichung der Kurve gegeben. Damit kannst Du in der Gleichung [mm] y_{B} [/mm] durch [mm] \bruch{1}{4} x_{B}^{2} [/mm] ersetzen und die gesamte Gleichung nach [mm] x_{B} [/mm] auflösen, es ist jetzt eine quadratische Gleichung, wie ich bereits andeutete. Nun ist [mm] x_{B} [/mm] bekannt und durch die Gleichung der Kurve auch das dazugehörige [mm] y_{B}.
[/mm]
Ich brauchte hier auf dem Papier 4 Zeilen zur Aufstellung der quadratischen Gleichung und damit ist schon die Hauptarbeit getan.
Probiere es mal aus
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 So 11.09.2005 | | Autor: | trully |
das hab ich jetzt probiert dan scheitere ich aber an dem x von der ableitung also 1/2x was ist das für ein x ich komm nich mehr klar
danke trotzdem
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 So 11.09.2005 | | Autor: | Infinit |
Hallo Trully,
Du bist schon auf dem richtigen Weg. Nur nicht nervös werden. Die Steigung der Kurve ist zunächst einmal für alle x-Werte gegeben. Der Wert, der uns hier aber interessiert, ist der Wert im Berührpunkt von Gerade und Kurve, es ist also der unbekannte Wert [mm] x_{B}. [/mm] Der Wert der Steigung der Kurve an dieser Stelle ist [mm] \bruch{1}{2} x_{B}. [/mm] Dieser Wert stimmt mit der Steigung der Geraden überein. Also muss man nur beide Werte gleichsetzen:
[mm] \bruch{1}{2} x_{B} [/mm] = [mm] \bruch{y_{B}-y_{0}}{x_{B}-x{0}}
[/mm]
Jetzt noch in dieser Gleichung [mm] y_{B} [/mm] mit Hilfe von [mm] x_{B} [/mm] ausdrücken und das geht am einfachsten mit Hilfe der Kurvengleichung [mm] \bruch{1}{4} x_{B}^{2}. [/mm] So ensteht die quadratische Gleichung, die Du nach [mm] x_{B} [/mm] auflösen kannst. Dann ist das Problem fast schon gelöst. Nur noch [mm] y_{B} [/mm] ausrechnen durch Einsetzen der ausgerechneten [mm] x_{B} [/mm] Werte in die Kurvengleichung und fertig sind wir.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 So 11.09.2005 | | Autor: | trully |
Also komme ich dann auf folgende gleichung
[mm] \bruch{1}{2}xB*(xB-x0)=(\bruch{1}{4}xB²-y0) [/mm]
das Wird im weiteren Verlauf zu
[mm] \bruch {1}{2}xB²-\bruch {1}{2}xB*x0=\bruch{1}{4}xB²-y0
[/mm]
daraus folgt
[mm] \bruch{1}{4}xB²+\bruch{1}{2}xB-2=0
[/mm]
da krieg ich für xB=2 und somit für yB=1
dann Krieg ich mit der zweipunktegleichung die Tangente y=x-1 raus und wie krieg ich die zweite tangente?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 So 11.09.2005 | | Autor: | Infinit |
Prima Trully,
Deine Rechnung ist richtig, Du hast aber bei der Lösung übersehen, dass dies eine quadratische Gleichung ist und es demzufolge zwei Lösungen gibt. Nehme ich Deine Gleichung und multipliziere sie mit 4 (um später einfacher rechnen zu können), dann komme ich zu
[mm] x_{B}^{2} [/mm] + [mm] 2x_{B}-8 [/mm] = 0.
Jetzt entsinne ich man die sogenannte p,q-Formel aus der Mittelstufe mit p = 2 und q = -8 (also gerade den Koeffizienten der quadratischen Gleichung) komme ich auf
[mm] X_{B1,2}= [/mm] -1 [mm] \pm \wurzel [/mm] {1+8}
Hieraus bekommst Du den von Dir bereits gefundenen Wert 2 und ein weiterer Wert ist demzufolge -1-3 = -4.
Alles klar?
Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 So 11.09.2005 | | Autor: | trully |
Dann bekomme ich für
XB2=4 und für yB2=4
dann ist die Tangente t2 [mm] y=\bruch{6}{5}x-\bruch{4}{5}
[/mm]
oder ?
ich bedanke mich sehr bei dir du hast mir sehr geholfen
|
|
|
|
