Tangentengleichung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:15 So 02.05.2010 | | Autor: | itse |
Hallo,
ist es möglich die Tangentengleichung: [mm] y=f'(x_0) \cdot{} (x-x_0)+f(x_0), [/mm] damit man die Tangente einer Funktion im Punkt [mm] (x_0,f(x_0)) [/mm] bestimmt, auch auf Gleichungen mit zwei Variablen anzuwenden?
Wenn nicht, gibt es für Funktionen mit zwei Variablen eine allgemeine Tangentengleichung?
Beispielsweise, gegeben ist der Einheitskreis: f(x,y) = x²+y² = 1, nun möchte man im Punkt (0,1) die Tangentengleichung bestimmen.
Wie würde das gehen?
Wenn ich [mm] f'(x_0) [/mm] ermitteln will, ersetze ich in der Gleichung für den Einheitskreis das x und leite nach y ab, ansonsten käme Null heraus. Somit habe ich für die Tangente im Punkt (0|1) die Gleichung: f(x,y) = 1+2xy.
Stimmt das?
Gruß
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:31 So 02.05.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> ist es möglich die Tangentengleichung: [mm]y=f'(x_0) \cdot{} (x-x_0)+f(x_0),[/mm]
> damit man die Tangente einer Funktion im Punkt [mm](x_0,f(x_0))[/mm]
> bestimmt, auch auf Gleichungen mit zwei Variablen
> anzuwenden?
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> Wenn nicht, gibt es für Funktionen mit zwei Variablen eine
> allgemeine Tangentengleichung?
Hallo,
das Bild von Funktionen mit zwei Variablen ist im Allgemeinen eine irgendwie gekrümmte Fläche und kein einfacher Graph.
Somit gibt es dort nicht "die Tangente", sondern eine Tangentialebene, die die Fläche im jeweiligen Punkt berührt.
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> Beispielsweise, gegeben ist der Einheitskreis: f(x,y) =
> x²+y² = 1, nun möchte man im Punkt (0,1) die
> Tangentengleichung bestimmen.
Das ist doch nicht wirklich eine Funktion mit zwei Variablen. In dem Moment, wo du für x etwas einsetzt, kannst du y schon nicht mehr "variabel" (also frei) wählen, sondern nur noch in der Zwangsjacke, dass [mm] x^2+y^2=1 [/mm] gilt.
Wenn du hingegen auf "=1" verzichtest und [mm] z=f(x,y)=x^2+y^2 [/mm] betrachtest, entsteht ein Paraboloid, an das du an der Stelle (0;1) eine Tangentialebene legen könntest.
Gruß Abakus
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> Wie würde das gehen?
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> Wenn ich [mm]f'(x_0)[/mm] ermitteln will, ersetze ich in der
> Gleichung für den Einheitskreis das x und leite nach y ab,
> ansonsten käme Null heraus. Somit habe ich für die
> Tangente im Punkt (0|1) die Gleichung: f(x,y) = 1+2xy.
>
> Stimmt das?
>
> Gruß
> itse
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