Tangentenebene < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:17 Do 23.05.2013 | | Autor: | melina94 |
| Aufgabe | <br>
Gegeben ist eine selbstgewählte normalenvector und eine Kugelgleichung. Geben sie die Tangentenebene an.
Ich hab die Kugelgleichung
(x1-1)²+(x2-2)²+(x3-3)²=36
und als Normalenvektor:
n=(4/4/4)
Als ergebniss hab ich
x1+x2+x3=12
Nun wollte ich wissen ob das richtig ist.
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
<br>
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:21 Fr 24.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> <br>
> Gegeben ist eine selbstgewählte normalenvector und eine
> Kugelgleichung. Geben sie die Tangentenebene an.
>
> Ich hab die Kugelgleichung
> (x1-1)²+(x2-2)²+(x3-3)²=36
> und als Normalenvektor:
> n=(4/4/4)
>
> Als ergebniss hab ich
> x1+x2+x3=12
>
> Nun wollte ich wissen ob das richtig ist.
> Danke
na gut: Rechnen wir es nach.
Der Vektor [mm] $\vektor{1\\1\\1}$ [/mm] steht senkrecht auf Deine Ebene. Der Punkt [mm] $M(1|2|3)\,$ [/mm] ist Mittelpunkt
Deiner Kugel, welche den Radius 6 hat. Wir suchen ein $t [mm] \in \IR$ [/mm] so, dass [mm] $\vektor{1\\2\\3}+t*\vektor{1\\1\\1}$ [/mm] erfüllt:
[mm] $$((1-t)-1)^2+((2-t)-2)^2+((3-t)-3)^2=36\,.$$
[/mm]
Es gilt
[mm] $$((1-t)-1)^2+((2-t)-2)^2+((3-t)-3)^2=36$$
[/mm]
[mm] $$\iff\;\;3t^2=36$$
[/mm]
[mm] $$\iff\;\;t^2=12$$
[/mm]
[mm] $$\iff\;\;t=\pm \sqrt{12}\,.$$
[/mm]
Also
[mm] $$t_{1,2}=\pm \sqrt{12}\,.$$
[/mm]
Berechnen wir also nun
[mm] $$\vec{p}_{1,2}=\vec{p}\;(t_{1,2}):=\vektor{1\\2\\3}+t_{1,2}*\vektor{1\\1\\1}=\vektor{1\pm \sqrt{12}\\2\pm\sqrt{12}\\3\pm\sqrt{12}}\,.$$
[/mm]
Dann gilt leider
[mm] $$(1\pm\sqrt{12})+(2\pm\sqrt{12})+(3\pm\sqrt{12})=6 \pm 6\sqrt{3} \not=12\,.$$
[/mm]
Also: Zeig' mal Deine Rechnung - ich nehme an, Du hast bei Deinen
Überlegungen einen Punkt nicht beachtet...
P.S. Warum machst Du es Dir eigentlich so schwer? Den Mittelpunkt der
Kugel kann man einfach [mm] $=(0|0|0)\,$ [/mm] wählen, und eine Tangentialebene
etwa senkrecht zur [mm] $x\,$-Achse [/mm] ist dann auch schnell angegeben...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:38 Fr 24.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
hier auch noch eine andere Kontrollvariante:
> <br>
> Gegeben ist eine selbstgewählte normalenvector und eine
> Kugelgleichung. Geben sie die Tangentenebene an.
>
> Ich hab die Kugelgleichung
> (x1-1)²+(x2-2)²+(x3-3)²=36
> und als Normalenvektor:
> n=(4/4/4)
>
> Als ergebniss hab ich
> x1+x2+x3=12
>
> Nun wollte ich wissen ob das richtig ist.
> Danke
Wenn wir die Schnittpunkte der Ebene mit der Kugel berechnen, so muss
es genau einen geben.
Ich schreibe jetzt mal [mm] $(x,y,z):\equiv(x_1,x_2,x_3)\,.$
[/mm]
Ein Punkt [mm] $(x,y,z)\,$ [/mm] der Ebene erfüllt dann [mm] $x=12-y-z\,.$ [/mm] Einsetzen in die Kugelgleichung
liefert
[mm] $$(12-y-z-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=36$$
[/mm]
[mm] $$\iff\;\;\;\; 11^2-22*(y+z)+(y+z)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=36$$
[/mm]
[mm] $$\iff\;\;\;\; 121-22y-22z+y^2+2yz+z^2+y^2-4y+4+z^2-6z+9=36$$
[/mm]
[mm] $$\iff\;\;\;\; y^2+z^2-13y-14z+yz=-49\,.$$
[/mm]
Hier siehst Du sofort, dass mit [mm] $y=0\,$ [/mm] auch [mm] $z=7\,$ [/mm] folgt und daher [mm] $(12-0-7\,|\,0\,|\,7)=(5\,|\,0\,|\,7)$ [/mm]
ein Punkt sowohl Deiner Ebene als auch Deiner Kugel ist.
Setzen wir andererseits etwa [mm] $z:=3\,,$ [/mm] so folgt
[mm] $$\iff\;\;\;\; y^2+z^2-13y-14z+yz=-49$$
[/mm]
[mm] $$\iff\;\;\;\; y^2+9-13y-42+3y=-49$$
[/mm]
[mm] $$\iff\;\;\;\; y^2-10y+16=0$$
[/mm]
[mm] $$\iff\;\;\;\; (y-2)*(y-8)=0\,.$$
[/mm]
Klar ist, dass etwa [mm] $(12-y-z\,|\,y=8\,|\,z=3)=(1\,|\,8\,|\,3)$ [/mm] ein Punkt Deiner Ebene
ist. Wegen [mm] $(1-1)^2+(8-2)^2+(3-3)^2=0^2+6^2+0^2=36$ [/mm] ist er auch ein Punkt
der Kugel.
Der Schnitt aus Ebene und Kugel hat also mindestens zwei verschiedene
Punkte: Nämlich [mm] $(1\,|\,8\,|\,3)$ [/mm] und [mm] $(5\,|\,0\,|\,7)\,.$ [/mm] Daher kann die Ebene nicht
tangential auf die Kugel stehen!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:38 Fr 24.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> <br>
> Gegeben ist eine selbstgewählte normalenvector und eine
> Kugelgleichung. Geben sie die Tangentenebene an.
>
> Ich hab die Kugelgleichung
> (x1-1)²+(x2-2)²+(x3-3)²=36
> und als Normalenvektor:
> n=(4/4/4)
>
> Als ergebniss hab ich
> x1+x2+x3=12
>
Ich hätte noch ne Variante.
Dazu benötigen wir den Normaleneinheitsvektor zu [mm] \vec{n}=\vektor{4\\4\\4} [/mm] , also müssen wir diesen mit dem Kehrwert der Länge multiplizieren, hier also:
[mm] |\vec{n}|=\sqrt{4^{2}+4^{2}+4^{2}}=\sqrt{48}=4\cdot\sqrt{3}
[/mm]
Also ist der Normaleneinheitsvektor:
[mm] \vec{n_{0}}=\frac{1}{4\sqrt{3}}\cdot\vektor{4\\4\\4}=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\vektor{1\\1\\1}
[/mm]
Dieser hat die Länge 1, wenn du ihn auf die "Radiuslänge 6 skalierst", bekommst du
[mm] \vec{n_{6}}=6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\vektor{1\\1\\1}=2\cdot\sqrt{3}\cdot\vektor{1\\1\\1}=\vektor{2\cdot\sqrt{3}\\2\cdot\sqrt{3}\\2\cdot\sqrt{3}}
[/mm]
Diesen Vektor addiere und subtrahiere nun zum/vom Ortsvektor des Kreismittelpunktes, dann hast du die beiden möglichen Berührpunkte der Tangentialebenen am Kreis, damit kannst du dann die Ebenen erstellen, da du ja genug Kandidaten für die Normalenvektoren der Ebenen gegeben hast.
Marius
|
|
|
|
