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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Mo 03.01.2005 | | Autor: | bodyzz |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
komme bei diesen Aufgaben nicht weiter.
Aufgabe 1:
Gegeben: f(x)= e^-{x²} mit Def = R
Teilaufgabe a)
Ein Kurvenpunkt S von Gf ist die Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks, von den beiden anderen Eckpunkten liegt der eine im urpsrung, der andere auf der x-Achse.
Bestimme S so, dass das Dreieck maximalen flächeninhalt hat.
Zu dieser Aufgabe bräuchte in einen Ansatz und die Lösung am besten.
Also was ich mir dabei gedacht habe, wenn man sich Gf zeichnet, dann kommt nur ein Punkt zur Frage. der liegt bei der Wendestelle oder??
Würde mich über eine Rechnug freuen
Teilaufgabe b)
Bestimme den Punkt T auf Gf im ersten Quadranten , der dem Ursprung am nächsten liegt.
--> Da check ich nichts..
Das sind alles Aufgaben die ich für meine Mathe LK üben muss.
Teilaufgabe c)
Bestimme den Radius eines Kreises um den Urspung, der Gf berührt.
(Beachte b) --> da ich b nicht weiß weiss ich nichts davon...
Aufgabe Nr 2.
a) Bestimme die Gleichung der Tangentenschar der ln-Kurve Gf (Tip: Punkt in a|b)
da hab ich x/a - 1 + lna rausbekommen. ´?? Stimmts?? Würd mich drüber freuen wenn ihr mir schreiben könntet wie ihr auf die Ergebnisse kommt.
b) Bestimme den Punkt auf Gf dessen Tangente durch den Ursprung geht.
Wennn ich die Zeichnung zeichne, dan denk ich mir dass es bei x= e sein muss... aber wie ich das nachweisen kann, das weis ich nicht!
c) Eine Schartangetne schneidet die x-Achse unter 30 Grad. Wo berührt sie Gf, wo schneidet sie die Koordinatenachsen.
d) Welche Schartangente, die steiler ist als die Gerade y= (1/e) * x
begrenzt zusammen mit den Koordinatenachsen ein Dreieck von extremalem Flächeninhalt? Berechne diesen.
Würde mich sehr freuen wenn jemand mir zeigen würde auf welchen Wegen mit welchen Formeln er diese ergebnisse rausbekommt....
Schöne Grüsse
bodyzz
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Hallo.
So viele Fragen auf einmal, na dann fangen wir mal los...
Zu 1 a).
Das Dreieck soll gleichschenklig sein. Wenn allso S die Koordinaten (u,f(u)) hat, so muß der andere Eckpunkt (der nicht im Ursprung liegt), die Koordinaten (2u,0) haben.
Das Dreieck hat dann den Flächeninhalt A(u)=2u*f(u)/2,
also [mm]A(u)=|u*f(u)|=|u|*e^{-u^2}[/mm].
Dieser Flächeninhalt soll maximal werden, also setzen wir erstmal die erste Ableitung =0, also
[mm]0=A'(u)=e^{-u^2}+u*(-2u)*e^{-u^2}=(1-2u^2)*e^{-u^2}
\Rightarrow 1-2u^2=0 \Rightarrow u=\pm \bruch{1} {2} \wurzel{2} [/mm].
(Der Einfachheit halber haben wir uns bei dieser Rechnung auf den 1. Quadranten beschränkt, da dann die Beträge bei A(u) wegfallen, Gf ist aber spiegelsymm. an x=0, daher macht das net allzuviel...)
b) Ein Punkt (a,f(a)) von Gf hat zum Ursprung den Abstand
[mm]d(a)=\wurzel{a^2+(f(a))^2}=\wurzel{a^2+e^{-2a^2}}[/mm]
(Satz des Pythagoras)
Nun muß d minimal werden. Dann gehen wir ganz analog zu a) von und erhalten:
[mm]d'(a)=0=\bruch{ae^{-a^2}*(e^{2a^2}-2)} {\wurzel{a^2e^{2a^2}+1}} \Rightarrow ae^{-a^2}*(e^{2a^2}-2)=0 \Rightarrow a=0 \vee e^{2a^2}-2=0 \Rightarrow a=0 \vee a=\wurzel{\bruch {ln2} {2}} [/mm]
Dann mußt Du noch bestimmen, an welchen der 3 Punkte Minima/ Maxima vorliegen (mit der 2. Ableitung), und dann mußt Du die Abstände ausrechnen und angeben, welcher der geringste ist.
Insbesondere solltest Du dir meine Umformungen nochmal verdeutlichen, ich kann ja unmöglich hier jeden Zwischenschritt posten, dann bin ich morgen noch dran...
Zu c) Der Ansatz ist folgender: Sei S=(a,f(a)) ein Punkt von Gf. Wenn ein Kreis durch den Ursprung den Graphen berühren soll, so muß dort insbesonder die Tangente senkrecht zum Radius stehen, das heißt,
[mm]f'(a)*\bruch {f(a)} {a}=-1[/mm], diese Formel für die Steigung einer senkrechten zu einer gegebenen Steigung hattet ihr bestimmt.
Darin setzt man alles ein, löst nach a auf und bestimmt mit dem Satz des Pythagoras dann den Abstand zum Ursprung.
Aufgabe 2) darf sich jemand anderes mit beschäftigen, da ich nun leider keine Zeit mehr habe.
Gruß,
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Mo 03.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo bodyzz !
f(x) = ln(x)
$f'(x) = [mm] \bruch{1}{x}$
[/mm]
> a) Bestimme die Gleichung der Tangentenschar der ln-Kurve
> Gf (Tip: Punkt in a|b)
>
> da hab ich x/a - 1 + lna rausbekommen. ?? Stimmts??
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Genauer : [mm] $g_a(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{a}*x [/mm] - 1 + ln(a)$
[mm] $g_a'(x) [/mm] = [mm] m_g [/mm] = [mm] \bruch{1}{a}$
[/mm]
> b) Bestimme den Punkt auf Gf dessen Tangente durch den
> Ursprung geht.
>
> Wenn ich die Zeichnung zeichne, dan denk ich mir dass es
> bei x= e sein muss...
> aber wie ich das nachweisen kann, das weis ich nicht!
Ursprungspunkt: O( 0 | 0 )
Nun müssen wir folgendes berechnen:
Für welches a gilt [mm] $g_a(0) [/mm] = 0$ ??
Also: [mm] $g_a(0) [/mm] = [mm] \bruch{1}{a}*0 [/mm] - 1 + ln(a) = 0$
Dies nun nach a umstellen und wir erhalten Dein Ergebnis, das Du bereits graphisch ermittelt hast: a = e.
Nun benötigen wir noch den gemeinsamen (Berühr-)Punkt B( [mm] $x_B$ [/mm] | [mm] $y_B$ [/mm] ).
Da es sich ja auschließlich um Tangenten an [mm] $G_f$ [/mm] handelt, muß gelten:
[mm] $f'(x_B) [/mm] = [mm] g_{a=e}'(x_B)$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{x_B} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e}$
[/mm]
Nach [mm] $x_B$ [/mm] auflösen und noch [mm] $y_B [/mm] = [mm] f(x_B)$ [/mm] ermitteln ...
> c) Eine Schartangente schneidet die x-Achse unter 30 Grad.
> Wo berührt sie Gf, wo schneidet sie die Koordinatenachsen.
[mm] $m_g [/mm] = [mm] tan(\alpha) [/mm] = tan(30°) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a} [/mm] = [mm] g_a'(x)$ [/mm]
Nach a auflösen und analog zu (b) den (Berühr-)Punkt ermitteln sowie die Schnittpunkte dieser Geraden mit den Koordinatenachsen ...
> d) Welche Schartangente, die steiler ist als die Gerade
> y = (1/e) * x begrenzt zusammen mit den Koordinatenachsen ein
> Dreieck von extremalem Flächeninhalt? Berechne diesen.
Wie fast immer, bei solchen Aufgaben: Skizze machen!!
Unser gesuchtes Dreieck befindet sich im 4. Quadranten und wird durch folgende Werte beschrieben:
Flächeninhalt: [mm] $A_{Dreieck} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * g * [mm] h_g$
[/mm]
Die Grundseite g || x-Achse beschreibt exakt den Abstand von Ursprung bis Nullstelle der Geradenschar [mm] $g_a$.
[/mm]
Also diese Nullstelle [mm] $x_N$ [/mm] ermitteln durch:
[mm] $g_a(x_N) [/mm] = 0 = [mm] \bruch{1}{a}*x_N [/mm] - 1 + ln(a)$
[mm] $x_N$ [/mm] bestimmen ...
Unsere gesuchte Höhe [mm] $h_g$ [/mm] entspricht exakt dem y-Achsenabschnitt der Gerade [mm] $g_a$: $h_g [/mm] = [mm] g_a(0) [/mm] = ...$
Wenn wir das einsetzen in die Flächenformel (s.o.), erhalten wir einen Funktion, die nur noch von a abhängig ist:
$A(a) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] x_N [/mm] * [mm] g_a(0) [/mm] = ...$
Für diese Funktion A(a) ist nun eine Extremwertberechnung durchzuführen.
Ich habe letztendlich zwei Ergebnisse erhalten, von denen eine ausscheidet wegen der Vorgabe "steiler als die Gerade $y = [mm] \bruch{1}{e}*x$".
[/mm]
Es muss für unser gesuchte [mm] $a_E$ [/mm] also gelten
$g'(x) = [mm] \bruch{1}{a} [/mm] > [mm] \bruch{1}{e}$ [/mm] !!
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Aufpassen mit den Vorzeichen der Fläche. Unsere betrachtete Fläche befindet sich unterhalb der x-Achse ...
Ich hoffe, nun siehst du etwas klarer 
Sonst einfach etwas probieren und hier Deine Zwischenergebnisse posten ...
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:33 Di 04.01.2005 | | Autor: | bodyzz |
dankeschön leute!!!! jettzt seh ich wieder klarer.... danke danke
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