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| Aufgabe | Vom Punkt R werden die Tangenten an den Graphen von f gelegt. Berechnen Sie die Koordinaten der Berührpunkte udn geben Sie die Gleichungen der Tangenten an.
a) f(x)= [mm] \bruch{(4x - 2)}{x²} [/mm] ; R(0|0)
b) f(x)= [mm] \bruch{x}{x-3} [/mm] ; R(0|4)
c) f(x)= [mm] \wurzel{(2x-4)}; [/mm] R(2|1) |
Hallo,
ich habe ein Problem mit der Aufgabe. Ich verstehe irgendwie nicht, wie das mit dem Punkt R funktionieren soll, bzw. wie ich berechnen kann, an welchen Punkt auf dem Graphen die Tangenten gelegt werden. Ich habe ja einen Punkt, durch den die Tangente gehen soll und somit auch den y-Achsenabschnitt dafür, aber woher weis ich jetzt welche Steigung die Tangente hat, wenn ich keinen Punkt habe, durch den die Tangente laufen soll.
f'(x) habe ich für a) bereits bestimmt:
f'(x)= [mm] \bruch{(-4x-4)}{x³}
[/mm]
Aber mit was muss ich das jetzt gleichsetzen, bzw. woher weis ich mit was ich das gleichsetzen muss.
Dass nur eine Tangente an den Graphen durch den Punkt R möglich ist, sieht man zwar, wenn man den Graphen zeichnet, aber wie kommt man rechnerisch auf die Koordinaten des Punktes???
Wäre echt nett von euch, wenn ihr mir helfen würdet: 
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Do 11.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo und willkommen!
Ich löse solche Aufgaben immer gerne andersrum: Ich lege Tangenten an ALLE Punkte des Grafen und schaue, welche dann davon durch R gehen.
Die Formel für die Tangente deiner Funktion f(x) and er Stelle a ist:
t(x)=f'(a)(x-a)+f(a)
Diese Formel findest du auch als Punkt-Richtungs-Form im Tafelwerk, nur vielleicht mit m statt f(a), was ja aber das selbe ist.
Damit kannst du also t(x) bilden. Und bei deiner 1. Funktion muss nun R(0|0) auf der Tangente liegen. Mit dieser Bedingung kannst du dann nach a auflösen!
Ansonsten könntest du auch so vorgehen:
Eine Gerade ist ja Tangente an einen Grafen an der Stelle a, wenn sie sich da berühren, also wenn Funktionswert und Anstieg an einer Stelle a gleich sind.
Damit ergibt sich:
f(a)=t(a) und f'(a)=t'(a)=ma.
Du kriegst ein Gleichungssystem mit den Variablen m und a, das du dann lösen kannst.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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> Hallo und willkommen!
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> Ich löse solche Aufgaben immer gerne andersrum: Ich lege
> Tangenten an ALLE Punkte des Grafen und schaue, welche dann
> davon durch R gehen
>
> Die Formel für die Tangente deiner Funktion f(x) and er
> Stelle a ist:
> t(x)=f'(a)(x-a)+f(a)
>
Warum (x-a)??? f'(a) gibt die Steigung an und f(a) den y-Achsenabschnitt, aber wofür ist das (x-a)?
> Diese Formel findest du auch als Punkt-Richtungs-Form im
> Tafelwerk, nur vielleicht mit m statt f(a), was ja aber das
> selbe ist.
>
> Damit kannst du also t(x) bilden. Und bei deiner 1.
> Funktion muss nun R(0|0) auf der Tangente liegen. Mit
> dieser Bedingung kannst du dann nach a auflösen!
Muss ich dafür 0 für x einsezten?
>
> Ansonsten könntest du auch so vorgehen:
> Eine Gerade ist ja Tangente an einen Grafen an der Stelle
> a, wenn sie sich da berühren, also wenn Funktionswert und
> Anstieg an einer Stelle a gleich sind.
>
> Damit ergibt sich:
> f(a)=t(a) und f'(a)=t'(a)=ma.
Wieso "=ma"?
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> Du kriegst ein Gleichungssystem mit den Variablen m und a,
> das du dann lösen kannst.
>
> Teufel
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>Warum (x-a)??? f'(a) gibt die Steigung an und f(a) den y-Achsenabschnitt, aber >wofür ist das (x-a)?
Schau dir mal diese Seite an:
http://www.macfunktion.ch/mathe/geraden/punktrichtung.html
>Muss ich dafür 0 für x einsezten?
ja.
>Wieso "=ma"?
Mit ma ist die Steigung gemeint.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Di 16.09.2008 | | Autor: | kaiD |
Hi,
ich habe mir bereits den Lösungsvorschlag angesehen, komme damit aber nicht durch meine Aufgabe.
Die lautet: Von dem Punkt A (3/4) wird eine Tangente an den Graphen von f mit f(x)= (x²-2)/(x-1) gelegt. Bestimmen sie die Koordianten der Berührpunkte und geben sie die Gleichung der Tangenten an!
Ich gehe jetzt davon aus, dass man erst den Berührpunkt bestimmen soll, wie es in der Aufgabe steht. Deswegen komme ich nicht weiter. Aber auch wenn ich erst die Tangente bestimmen will komme ich auf keine Lösung. Da morgen meine erste LK-Klausur ansteht wäre ich um schnelle Hilfe sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Der Ansatz ist der, dass du zunächst eine Tangente betrachtest, die durch A und einen beliebigen Punkt auf der Funktion geht. Du hast also die Punkte
A(3|4)
P(x|f(x))
gegeben. Du hast zwei Punkte gegeben - Daraus kannst du nun eine Geradengleichung errechnen. Wichtig ist aber nur die Steigung. Wie berechnet man die Steigung bei zwei beliebigen Punkten? Richtig,
[mm]m = \bruch{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} = \bruch{f(x)-4}{x-3} = \bruch{\bruch{x^{2}-2}{x-1}-4}{x-3}[/mm]
Was haben wir getan? Wir haben gesagt, wir nehmen uns einen fiktiven Punkt P(x|f(x)), der natürlich auf der Funktion liegt, und den Punkt durch den die Tangente letztendlich noch laufen soll, A(3|4). Wir können dann zu jedem fiktiven Punkt auf der Funktion die Steigung ausdrücken, welche eine Gerade, die durch die beiden Punkte geht, dann hat.
Und interessieren aber nicht Geraden, welche die Funktion irgendwie schneiden. Sondern: an der Stelle x sollen die Geraden genau dieselbe Steigung haben wie sie haben müssten, wenn sie Tangente an der Funktion wären. D.h. es muss gelten:
[mm]f'(x) = m = \bruch{\bruch{x^{2}-2}{x-1}-4}{x-3}[/mm]
Das gilt es nach x aufzulösen und du hast die Stelle berechnet, an der die fiktive Gerade zur Tangente an f(x) wird.
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Di 16.09.2008 | | Autor: | kaiD |
Wenn ich das so mache, komme ich aber auf (x²-4x-3) / (x²-4x+3) = m
Ehrlich gesagt bin ich nicht in der Lage, das weiter aufzulösen, sodass ich für m einen brauchbaren Wert habe.
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Hallo!
Du musst die Gleichung nach x auflösen! Das m ignorieren - nur die beiden äußeren Seiten betrachten. In deiner Gleichung tritt dann nur x auf, und zwar sind die Lösungen der Gleichung die Menge der x, für die die Gerade durch A und P(x|f(x)) Tangente ist. D.h. m (und natürlich auch n) musst du dann separat mit dem herausgefundenen x-Wert ausrechnen.
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Di 16.09.2008 | | Autor: | kaiD |
Ich halte mich zwar langsam für etwas bescheuert weil ich das einfach nicht durchblicke, aber wenn ich von dem Term für m ausgehe, der hier gegeben ist, und den mit f'(x) gleichsetze komme ich auf eine völlig banale Gleichung.
Vielleicht kannst du mir ja nochmal mit anderen Worten erklären, was ich mit m gleichsetzen muss. Ich muss zwar auf y=2x-2
als Tangente kommen, aber das tue ich nicht.
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Hallo,
wir haben die Funktion [mm] f(x)=\bruch{4x-2}{x^{2}} [/mm] und die Tangente g(x)=mx+n, da die Tangente durch (0;0) verläuft, ist n=0, also g(x)=mx, jetzt gilt, Funktion und Tangente haben an der Berührstelle [mm] x_0 [/mm] den gleichen Anstieg, also
[mm] f'(x_0)=g'(x_0) [/mm]
und haben einen gemeinsamen Punkt, also
[mm] f(x_0)=g(x_0)
[/mm]
1) [mm] \bruch{-4x_0+4}{x_0^{3}}=m [/mm] 1. Ableitungen sind gleich
2) [mm] \bruch{4x_0-2}{x_0^{2}}=mx_0
[/mm]
[mm] \bruch{4x_0-2}{x_0^{2}}=\bruch{-4x_0+4}{x_0^{3}}x_0
[/mm]
[mm] \bruch{4x_0-2}{x_0^{2}}=\bruch{-4x_0+4}{x_0^{2}}
[/mm]
[mm] 4x_0-2=-4x_0+4
[/mm]
[mm] 8x_0=6
[/mm]
[mm] x_0=\bruch{3}{4}
[/mm]
1. Teilerfolg: an der Stelle [mm] x_0=\bruch{3}{4} [/mm] berühren sich also Funktion und Tangente
berechnen wir jetzt
[mm] f(\bruch{3}{4})=\bruch{16}{9}
[/mm]
2. Teilerfolg im Punkt [mm] (\bruch{3}{4}; \bruch{16}{9}) [/mm] berühren sich Funktion und Tangente
setzen wir den Berührpunkt in die Tangentengleichung ein, um m zu berechnen:
[mm] \bruch{16}{9}=m*\bruch{3}{4}
[/mm]
[mm] m=\bruch{64}{27}
[/mm]
somit lautet die Tangente
[mm] g(x)=\bruch{64}{27}x
[/mm]
und so sieht alles aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Di 16.09.2008 | | Autor: | kaiD |
Vielen Dank für deine Mühe, aber das Beispiel habe ich ja selbst begriffen. Ist auch deutlich leichter da der Punkt (0/0) gegeben ist. In meiner Aufgabe lautet der Punkt aber (3/4) und die Funktion f(x) = (x²-2) / (x-1)
Deswegen habe ich nicht auf Anhieb ein n der Tangente und komme auch nicht weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Di 16.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kai!
Stelle hier die Tangentengleichung mittels Punkt-Steigungs-Form im Berührpunkt $B \ [mm] \left( \ b \ | \ f(b) \ \right)$ [/mm] auf:
[mm] $$m_t [/mm] \ = \ f'(b) \ = \ [mm] \bruch{y-f(b)}{x-b}$$
[/mm]
Wenn Du nun die entsprechende Ableitung $f'(b) \ = \ ...$ sowie die Koordinatenwerte $x \ = \ 3$ und $y \ = \ 4$ in diese Gleichung einsetzt, verbleibt nur noch eine Unbekannte: $b_$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:44 Di 16.09.2008 | | Autor: | kaiD |
Ja theoretisch klingt das für mich auch durchaus verständlich, aber in der Praxis sieht es dann im Endeffekt so aus:
[mm] -x^4 [/mm] + 3x³ + 7x² - 9x = 0
und das stellt mich doch vor größere Probleme.
Also kann mir weiter niemand helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Di 16.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kai!
Da musst Du Dich aber irgendwann verrechnet haben. Bei mir eliminieren sich alle höheren Potenzen, so dass lediglich eine lineare Gleichung verbleibt.
Also musst Du wohl (oder übel) einige Zwischenschritte posten ...
Wie lautet denn Deine Ableitung $f'(x)_$ ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Di 16.09.2008 | | Autor: | kaiD |
Also als Ansatz habe ich f'(x) = m, d.h.
(x²-2x+2)/(x-1)² = (3x-6)/(4x-x²-3) (Nach Auflösen des Doppelbruchs)
Dann Überkreuzmultiplikation, die ergibt:
(x²-2x+2)*(4x-x²-3)=(x²-2x+1)*(3x-6)
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Hallo, deine 1. Ableitung scheint korrekt zu sein [mm] f'(x)=\bruch{x^{2}-2x+2}{(x-1)^{2}}
[/mm]
nenne ich die Berührstelle wieder [mm] x_0
[/mm]
[mm] f'(x_0)=\bruch{y-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] weiterhin hast du (3; 4), also x=3 und y=4
[mm] \bruch{x_0^{2}-2x_0+2}{(x_0-1)^{2}}=\bruch{4-\bruch{x_0^{2}-2}{x_0-1}}{3-x_0} [/mm]
[mm] (x_0^{2}-2x_0+2)*(3-x_0)=(x_0-1)^{2}*[4-\bruch{x_0^{2}-2}{x_0-1}]
[/mm]
[mm] (x_0^{2}-2x_0+2)*(3-x_0)=4*(x_0-1)^{2}-(x_0-1)*(x_0^{2}-2)
[/mm]
[mm] 3x_0^{2}-x_0^{3}-6x_0+2x_0^{2}+6-2x_0=4x_0^{2}-8x_0+4-x_0^{3}+x_0^{2}+2x_0-2
[/mm]
[mm] -8x_0+6=-6x_0+2
[/mm]
eine wunderschöne Gleichung, zum Ansporn für dich, du bekommst [mm] x_0=2 [/mm] und für die Tangente y=2x-2,
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:29 Di 16.09.2008 | | Autor: | kaiD |
Folglich habe ich den Doppelbruch falsch, bzw. umständlich oder unnötigerweise, aufgelöst. So bekomme ich es auch hin.
Vielen Dank für eure Geduld!
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Die erste Ableitung ist die Steigungungsformel.
Für die Tangente benötigst du folgende Formel:
y=mx+n
y und x hast du ja (der Punkt "R") und m auch (in Form der Ableitung)
->$ [mm] \bruch{(-4x-4)}{x³} [/mm] $
nun setzt du einfach alles ein und löst auf nach "n"
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