Tangenten an 2 Kreisen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hi!
Zuerst einmal die Formalitäten:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Und jetzt zur Aufgabe:
Ich habe die Gleichungen für 2 Kreise gegeben:
K1: x²+y²=25
K2: (x-10)²+y²=9
Die Mittelpunkte sind also M1(0/0) und M2(10/0).
Und die Radien betragen r1=5 und r2=3.
Bis jetzt weiß ich, dass der Abstand aller Tangenten zum Ursprung 5 Längeneinheiten beträgt.
d(ti,0)=5 ; i=1,2,3,4 (Bezeichnung der Tangenten)
Und der Abstand zum Punkt (10/0) beträgt 3 Längeneinheiten.
d(ti, (10/0)) = 3
ti in HNF ausdrücken (HNF = Hessesche-Normalen-Form)!
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{n1 \\ n2} [/mm] ; n1²+n2²=1
daraus folgt dann:
d(ti, 0) = [mm] \vmat{ \vektor{n1 \\ n2} \* \vektor{0 \\ 0} - d} [/mm] = 5
[mm] \Rightarrow [/mm] |d | = 5
d(ti, (10/0) = [mm] \vmat{ \vektor{n1 \\ n2} \* \vektor{10 \\ 0} - 5} [/mm] = 3
[mm] \Rightarrow [/mm] |10 n1 - 5 | = 3
Die inneren Tangenten sind t1 und t2 und die äußeren Tangenten sind t3 und t4.
Wer kann mir helfen, die Tangentengleichungen aufzustellen?
Ganz vielen Dank jetzt schon mal.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:46 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Hexe |
Na du musst doch nur noch auflösen. Aus deiner unteren Gleichung erhälst du zwei [mm] n_1 [/mm] (Auflösen des Betrags) eines für die innere und eines für die Äussere Tangente mit denen erhältst du aus deiner Gleichung [mm] n_1^2+n_2^2=1 [/mm] jeweils zwei werte für [mm] n_2 [/mm] ->die jeweils obere und untere Tangente.
Dann nur noch aufstellen wobei der größere [mm] n_1 [/mm] wert zur inneren Tangente gehört, da diese steiler ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:09 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Steffi_Lp |
Ganz vielen Dank für die Lösung!!!
|
|
|
| |
|
Ich hab da noch mal ne Frage:
Wie komme ich denn nach Auflösen des Betrages auf zwei (!) [mm] n_{1} [/mm] ?
Das ist mir noch nicht ganz geläufig.
Ich komme nur auf 1 [mm] n_{1}. [/mm] das beträgt [mm] \bruch{4}{5}
[/mm]
Gruß Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Mo 30.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Steffi
Wenn du die Betragstrich weglässt hast du 2 Vorzeichen:|10n1-5|=10n1-5 und |10n1-5|=-10n1+5
anders gesagt: |a|=3 heisst entweder a=3 oder a=-3!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 Di 31.05.2005 | | Autor: | Steffi_Lp |
Erst mal ganz vielen Dank für eure Hilfe.
Da wir die Aufgabe heute besprochen haben, wollte ich mal die entgültige Lösung posten, um anderen die Arbeit ein wenig zu erleichtern.
[mm] n_{1}= \bruch{4}{5} [/mm] und [mm] n_{1}= \bruch{1}{5}
[/mm]
wenn man das dann in die Gleichung [mm] n_{1}^{2}+n_{2}^{2}=1 [/mm] einsetzt, so kommt für
[mm] n_{2}= \pm \wurzel{\bruch{24}{25}}
[/mm]
und
[mm] n_{2}= \pm \bruch{3}{5}
[/mm]
Die allgemeine Gleichung für Tangenten ist:
[mm] n_{1}*x+n_{2}*y-d=0
[/mm]
d=5
[mm] \bruch{4}{5}*x+\bruch{3}{5}*y-5=0 [/mm]
[mm] \bruch{4}{5}*x-\bruch{3}{5}*y-5=0
[/mm]
Wobei [mm] t_{1} [/mm] und [mm] t_{2} [/mm] die äußeren Tangenten an den beiden Kreisen sind.
[mm] t_{3}: \bruch{1}{5}*x [/mm] + [mm] \wurzel{\bruch{24}{25}}*y [/mm] - 5 = 0
[mm] t_{4}: \bruch{1}{5}*x [/mm] - [mm] \wurzel{\bruch{24}{25}}*y [/mm] - 5 = 0
Wobei [mm] t_{3} [/mm] und t{4} die inneren Tangenten der beiden Kreise sind.
Um die Schnittpunkte der Tangenten zu erhalten schneidet man jeweils die beiden inneren bzw. äußeren Tangenten.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Sa 11.11.2006 | | Autor: | Dr.Ogen |
Danke für die Tipps Steffi,
Wie kommst du nochmal auf die Gleichung n1²+n2²=1? Woher nimmst du die?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 So 12.11.2006 | | Autor: | chrisno |
Der Betreff sollte reichen.
|
|
|
|
