Tangenten a Kreis orthog. zu g < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Mo 17.02.2020 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Tangentengleichungen an den Kreis k, die orthogonal zu der Geraden g verlaufen.
k: [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 16
g: [mm] \vektor{8\\15}*\vec{x} [/mm] - 30 = 0 |
Moin Moin,
hier fehlt mir eine Idee bzw. ein Ansatz. :(
Ich weiß:
Der Kreis k hat den Mittelpunkt M (0/0) und den Radius r= 4.
Die Gerade g ist in Normalenform gegeben. In Koordinatenform:
8x +15y = 30 bzw. y = [mm] -\bruch{8}{15}x [/mm] +2
Eine Tangente, die orthogonal zu g verlaufen soll, müsste also die Steigung
m = [mm] \bruch{15}{8} [/mm] haben.
t(x) = [mm] \bruch{15}{8}*x [/mm] + w
Wenn ich diese Gleichung in den Kreis einsetze, erhalte ich
[mm] x^2 [/mm] + [mm] (\bruch{15}{8}*x [/mm] + [mm] w)^2 [/mm] = 16
Dies könnte ich zwar nach x auflösen...
[mm] x^2 [/mm] + [mm] \bruch{225}{64}*x^2 +\bruch{15}{4}*w*x [/mm] + [mm] w^2 [/mm] - 16 = 0
[mm] \bruch{289}{64}*x^2 +\bruch{15}{4}*w*x [/mm] + [mm] w^2 [/mm] - 16 = 0
[mm] x^2 +\bruch{240}{289}*w*x [/mm] + [mm] \bruch{64}{289}*w^2 [/mm] - [mm] \bruch{1024}{289} [/mm] = 0
[mm] x_{1/2} [/mm] = - [mm] \bruch{120}{289}*w \pm \wurzel{(\bruch{120}{289}*w)^2 - (\bruch{64}{289}*w^2 - \bruch{1024}{289})}
[/mm]
Da t(x) eine Tangente an den Kreis sein soll, gibt es (in Abhängigkeit von w) aber nur eine Lösung, richtig?
D.h. [mm] \wurzel{(\bruch{120}{289}*w)^2 - \bruch{64}{289}*w^2 + \bruch{1024}{289}} [/mm] = 0
[mm] \bruch{14400}{83521}*w^2 [/mm] - [mm] \bruch{64}{289}*w^2 [/mm] + [mm] \bruch{1024}{289} [/mm] = 0
- [mm] \bruch{4096}{83521}*w^2 [/mm] + [mm] \bruch{1024}{289} [/mm] = 0
[mm] w^2 [/mm] = [mm] \bruch{289}{4}
[/mm]
[mm] w_{1/2} [/mm] = [mm] \pm \bruch{17}{2}
[/mm]
Daraus würde folgen, wenn dies soweit richtig ist:
[mm] x_{t1} [/mm] = - [mm] \bruch{60}{17} [/mm] bzw. für die andere Tangente [mm] x_{t2} [/mm] = [mm] \bruch{60}{17}
[/mm]
[mm] t_1(x)= \bruch{15}{8}*x [/mm] + [mm] \bruch{17}{2} [/mm] bzw. [mm] t_2(x)= \bruch{15}{8}*x -\bruch{17}{2}
[/mm]
[mm] y_{t1} [/mm] = [mm] \bruch{32}{17} [/mm] bzw. [mm] y_{t2} [/mm] = - [mm] \bruch{32}{17} [/mm]
Gibt es vielleicht noch weitere Lösungsideen???
Danke & Gruß!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Mo 17.02.2020 | | Autor: | leduart |
Hallo da die Tangente senkrecht auf dem Radius steht, nimmt man einfach eine Parallele zu der Geraden und schneidet sie mit dem Kreis. dann hat man die 2 Berührpunkte und mit [mm] xx_p+y_yp=16 [/mm] die 2 Tangenten
Aber dein Weg ist auch ok und richtig, manchmal hilft es sich vorzustellen, wie man das konstruiert.
Gruß ledum
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Mo 17.02.2020 | | Autor: | hase-hh |
> Hallo da die Tangente senkrecht auf dem Radius steht, nimmt
> man einfach eine Parallele zu der Geraden und schneidet sie
> mit dem Kreis.
Klingt interessant. Wie wäre der Ansatz?
Ich kann ja nicht davon ausgehen, dass die Gerade den Kreis schneidet.
> dann hat man die 2 Berührpunkte und mit
> [mm]xx_p+y_yp=16[/mm] die 2 Tangenten
> Aber dein Weg ist auch ok und richtig, manchmal hilft es
> sich vorzustellen, wie man das konstruiert.
> Gruß ledum
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Mo 17.02.2020 | | Autor: | chrisno |
Konstruiere (Berechne) die Parallele zur Geraden, die durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft.
Die Schittpunkte dieser Geraden mit dem Kreis (Abstand r vom Mittelpunkt) sind die Berührpunkte der Tangenten. Die Steigung hast Du ja schon.
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Verschiebe g durch den Kreismittelpunkt, hier also durch den Ursprung. Dafür gilt dann y = [mm] -\bruch{8}{15}x. [/mm] Diese schneidet den Kreis da, wo y = [mm] -\bruch{8}{15}x [/mm] ist. Die Tangenten durch diese Schnittpunkte sind dann senkrecht zu g.
[mm] x^2 [/mm] + ( [mm] -\bruch{8}{15}x)^2 [/mm] = 16
[mm] x^2 [/mm] + [mm] \bruch{64}{225}x^2 [/mm] = [mm] \bruch{289}{225}x^2 [/mm] = 16
[mm] \pm \bruch{17}{15}x=4
[/mm]
x = [mm] \pm \bruch{60}{17}
[/mm]
Den Rest hast du schon selbst gemcht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:57 Di 18.02.2020 | | Autor: | hase-hh |
D.h. wenn ich zwei Tangenten an einen Kreis lege, die parallel zueinander sind, dann gilt für die orthogonale Gerade durch die Berührpunkte, dass diese durch den Mittelpunkt des Kreises geht; richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 Di 18.02.2020 | | Autor: | leduart |
ja, aber warum überlegst du das nicht selbst, ein bissel mehr Selbstvertrauen!
Gruß ledum
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