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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Norman |
Ich habe die Funktion f(x)= [mm] \bruch{te^{x}}{t+e^{x}} [/mm] gegeben.
Zu dem habe ich noch den Wendepunkt (ln t | [mm] \bruch{1}{2}t)
[/mm]
Nun schneidet die Wendetangente von Kt die y-Achse im Punkt (0|C).
Welchen Wert nimmt c an wenn t die positiven reelen Zahlen durchläuft?
Gibt es ein t sodass die Wendetangente durch den Ursprung verläuft?
Bilden Sie die Stammfunktion.
Nun weiß ich ja das die erste Ableitung der Funktion gleich der Anstieg ist.
also wäre der Anstieg dann:
[mm] m=\bruch{t²e^{x}}{(t+e^{x})²}
[/mm]
Da es ja eine Wendetangente muss der Anstieg ja die x Koordinate des Wendepunktes haben. Also:
[mm] \bruch{t²e^{ln t}}{(t+e^{ln t})²}
[/mm]
Da ja die Y-Achse im Punkt (0|C) geschnitten würd, muss ja n=c sein.
Dann müsste die Fertige Tangente so aussehen:
t(x)= [mm] \bruch{t²e^{ln t}}{(t+e^{ln t})²}x [/mm] + c
Jetzt komme ich aber nicht weiter. Muss ich jetzt t gegen unendlich gehen lassen, oder was genau muss ich machen? Und wie bekomme ich raus ob es ein t gibt für das die Tangente durch den Ursprung läuft?
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Hi, Norman,
> Ich habe die Funktion f(x)= [mm]\bruch{te^{x}}{t+e^{x}}[/mm]
> gegeben.
> Zu dem habe ich noch den Wendepunkt (ln t | [mm]\bruch{1}{2}t)[/mm]
Soll ich den nachrechnen, oder bist Du Dir da sicher?
> Nun schneidet die Wendetangente von Kt die y-Achse im Punkt (0|C).
> Welchen Wert nimmt c an wenn t die positiven reellen Zahlen
> durchläuft?
> Gibt es ein t sodass die Wendetangente durch den Ursprung
> verläuft?
> Bilden Sie die Stammfunktion.
>
> Nun weiß ich ja das die erste Ableitung der Funktion gleich
> der Anstieg ist.
> also wäre der Anstieg dann:
>
> [mm]m=\bruch{t²e^{x}}{(t+e^{x})²}[/mm]
Naja: Aber nur, wenn Du für x eine Koordinate einsetzt!
>
> Da es ja eine Wendetangente muss der Anstieg ja die x
> Koordinate des Wendepunktes haben. Also:
>
> [mm]\bruch{t²e^{ln t}}{(t+e^{ln t})²}[/mm]
Da [mm] e^{ln(t)} [/mm] = t kannst Du das vereinfachen:
m = [mm] \bruch{t^{3}}{4t^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}t
[/mm]
>
>
> Da ja die Y-Achse im Punkt (0|C) geschnitten würd, muss ja
> n=c sein.
> Dann müsste die Fertige Tangente so aussehen:
>
> t(x)= [mm]\bruch{t²e^{ln t}}{(t+e^{ln t})²}x[/mm] + c
Also: Mit meiner obigen Rechnung etwas einfacher:
y= [mm] \bruch{1}{4}t*x [/mm] + c.
Andererseits gilt ja, wenn Du den Wendepunkt W(ln(t) / [mm] \bruch{1}{2}t) [/mm] einsetzt:
[mm] \bruch{1}{2}t [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}t*ln(t) [/mm] + c
oder:
[mm] c=\bruch{1}{2}t [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}t*ln(t) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}t*(2 [/mm] - ln(t))
Nun musst Du t gegen 0 und t gegen [mm] \infty [/mm] gehen lassen, um herauszufinden, zwischen welchen Werten c liegt. Vermutlich musst Du dazu die L'Hospitalschen Regeln verwenden!
> Und
> wie bekomme ich raus ob es ein t gibt für das die Tangente
> durch den Ursprung läuft?
Dazu muss c=0 sein.
Dann ist entweder [mm] \bruch{1}{4}t [/mm] = 0 (was nicht geht, da t > 0 sein muss)
oder aber (2 - ln(t)) = 0. Umgeformt: ln(t) = 2 <=> t = [mm] e^{2}
[/mm]
(Rechenfehler nicht ausgeschlossen!)
Ach ja: Und für die Berechnung der Stammfunktion substituierst Du z = [mm] e^{x}.
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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