Tangente bestimmen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Mi 12.01.2011 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Sei [mm] \IR \to \IR [/mm] mit [mm] f(x) = x * e^x [/mm].
Bestimmen Sie alle Punkte [mm] (0,t_{} )[/mm] mit [mm]t \in \IR [/mm] beliebig, von denen man keine, eine, zwei oder drei Tangenten an [mm] G_f [/mm] legen kann. |
 Wie macht man das?
Ich hab die Funktion mal gezeichnet, damit ich weiß, wie sie aussieht.
Die Gleichung der Tangente ist
[mm] T(x) = f'(x_0 )(x - x_0 ) + f(x_0 )[/mm]
[mm]= ((x_0 +1)*e^{x_0}) (x - x_0) + x_0 *e^{x_0}[/mm]
....
[mm]= e^{x_0} (x-x_{0}^2 +xx_0)[/mm]
dann geht es um Tangenten, die durch [mm] (0, t_{} ) [/mm] gehen, also kann ich das doch in [mm] t(x)[/mm] einsetzen, oder?
dann hab ich:
[mm] T (x)= e^{x_0} (0-x_{0}^2 +0x_0) = -x_{0}^2 *e^{x_{0}}[/mm]
jetzt muss ich überlegen, zu welchem [mm]t_{}[/mm] es kein, ein, zwei oder drei [mm] x_0[/mm] gibt, oder?
also sollte ich [mm] t = -x_{0}^2 *e^{x_{0}}[/mm] nach [mm] x_0 [/mm] auflösen, aber da bräuchte ich Hilfe.
Ich würde erstmal den ln auf die Gleichung anwenden, aber wenn ich mich nicht täusche ist [mm] ln(a*b) = ln(a) + ln(b) [/mm] und ich habe hier [mm]a= -x_{0}^2[/mm] und der ln ist auf negativen Zahlen nicht definiert, oder???
Wo liegt der Fehler.....
LG Ella
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Hallo ella87,
> Sei [mm]\IR \to \IR[/mm] mit [mm]f(x) = x * e^x [/mm].
>
> Bestimmen Sie alle Punkte [mm](0,t_{} )[/mm] mit [mm]t \in \IR[/mm] beliebig,
> von denen man keine, eine, zwei oder drei Tangenten an [mm]G_f[/mm]
> legen kann.
> Wie macht man das?
>
> Ich hab die Funktion mal gezeichnet, damit ich weiß, wie
> sie aussieht.
>
> Die Gleichung der Tangente ist
> [mm]T(x) = f'(x_0 )(x - x_0 ) + f(x_0 )[/mm]
> [mm]= ((x_0 +1)*e^{x_0}) (x - x_0) + x_0 *e^{x_0}[/mm]
>
> ....
> [mm]= e^{x_0} (x-x_{0}^2 +xx_0)[/mm]
>
> dann geht es um Tangenten, die durch [mm](0, t_{} )[/mm] gehen, also
> kann ich das doch in [mm]t(x)[/mm] einsetzen, oder?
>
> dann hab ich:
> [mm]T (x)= e^{x_0} (0-x_{0}^2 +0x_0) = -x_{0}^2 *e^{x_{0}}[/mm]
>
> jetzt muss ich überlegen, zu welchem [mm]t_{}[/mm] es kein, ein,
> zwei oder drei [mm]x_0[/mm] gibt, oder?
Richtig.
>
> also sollte ich [mm]t = -x_{0}^2 *e^{x_{0}}[/mm] nach [mm]x_0[/mm]
> auflösen, aber da bräuchte ich Hilfe.
Für den Fall, daß es von (0,t) aus mindestens
eine Tangente an f gibt, ist das richtig.
Solch eine Gleichung kannst Du nur numerisch lösen.
Der einfache Fall, ist der, daß es von (0,t) keine
Tangente an f geben soll. Schau Dir hierzu das
Produkt [mm]-x_{0}^2 *e^{x_{0}}[/mm] an. Und
bestimme, welche Werte dieses Produkt annehmen kann.
> Ich würde erstmal den ln auf die Gleichung anwenden, aber
> wenn ich mich nicht täusche ist [mm]ln(a*b) = ln(a) + ln(b)[/mm]
> und ich habe hier [mm]a= -x_{0}^2[/mm] und der ln ist auf negativen
> Zahlen nicht definiert, oder???
>
> Wo liegt der Fehler.....
>
> LG Ella
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Mi 12.01.2011 | | Autor: | ella87 |
> Für den Fall, daß es von (0,t) aus mindestens
> eine Tangente an f gibt, ist das richtig.
>
> Solch eine Gleichung kannst Du nur numerisch lösen.
>
> Der einfache Fall, ist der, daß es von (0,t) keine
> Tangente an f geben soll. Schau Dir hierzu das
> Produkt [mm]-x_{0}^2 *e^{x_{0}}[/mm] an. Und
> bestimme, welche Werte dieses Produkt annehmen kann.
also gucke ich mir "nur" [mm]-x_{0}^2 *e^{x_{0}}[/mm] und überlege welche b man damit erreichen kann und wie oft.
[mm]e^{x_{0}}[/mm] ist immer größer 0 und [mm]x_{0}^2 [/mm] auch, also ist das Produkt wegen dem Vorzeichen immer kleiner 0 also kommen schonmal nur negative Werte in Frage (und die 0)
[mm]-x_{0}^2 *e^{x_{0}} = 0[/mm] für [mm]x_0 = 0[/mm] also eine Tangente in [mm](0, 0)[/mm]
weiter kann ich leder nicht interpretieren...
ich würde vermuten, dass es an der Stelle [mm] (0, -\bruch{1}{e})[/mm], also am Minimum, nur eine Tangente gibt und an allen anderen Stellen 2. immer eine Tangente an die Funktion rechts vom Minimum und einmal links davon, aber sicher bin ich mir nicht und begründen kann ichs auch nicht.
Wie komm ich da weiter?
Lg Ella
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Hallo ella87,
> > Für den Fall, daß es von (0,t) aus mindestens
> > eine Tangente an f gibt, ist das richtig.
> >
> > Solch eine Gleichung kannst Du nur numerisch lösen.
> >
> > Der einfache Fall, ist der, daß es von (0,t) keine
> > Tangente an f geben soll. Schau Dir hierzu das
> > Produkt [mm]-x_{0}^2 *e^{x_{0}}[/mm] an. Und
> > bestimme, welche Werte dieses Produkt annehmen kann.
>
> also gucke ich mir "nur" [mm]-x_{0}^2 *e^{x_{0}}[/mm] und überlege
> welche b man damit erreichen kann und wie oft.
>
> [mm]e^{x_{0}}[/mm] ist immer größer 0 und [mm]x_{0}^2[/mm] auch, also ist
> das Produkt wegen dem Vorzeichen immer kleiner 0 also
> kommen schonmal nur negative Werte in Frage (und die 0)
> [mm]-x_{0}^2 *e^{x_{0}} = 0[/mm] für [mm]x_0 = 0[/mm] also eine Tangente in
> [mm](0, 0)[/mm]
>
> weiter kann ich leder nicht interpretieren...
Demnach gibt es für t>0 keine Tangente von (0,t) an f.
> ich würde vermuten, dass es an der Stelle [mm](0, -\bruch{1}{e})[/mm],
> also am Minimum, nur eine Tangente gibt und an allen
> anderen Stellen 2. immer eine Tangente an die Funktion
> rechts vom Minimum und einmal links davon, aber sicher bin
> ich mir nicht und begründen kann ichs auch nicht.
> Wie komm ich da weiter?
Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion
[mm]-x_{0}^2 *e^{x_{0}}[/mm]
>
> Lg Ella
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:17 Mi 12.01.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo ella87,
>
> > Sei [mm]\IR \to \IR[/mm] mit [mm]f(x) = x * e^x [/mm].
> >
> > Bestimmen Sie alle Punkte [mm](0,t_{} )[/mm] mit [mm]t \in \IR[/mm] beliebig,
> > von denen man keine, eine, zwei oder drei Tangenten an [mm]G_f[/mm]
> > legen kann.
> > Wie macht man das?
> >
> > Ich hab die Funktion mal gezeichnet, damit ich weiß, wie
> > sie aussieht.
> >
> > Die Gleichung der Tangente ist
> > [mm]T(x) = f'(x_0 )(x - x_0 ) + f(x_0 )[/mm]
> > [mm]= ((x_0 +1)*e^{x_0}) (x - x_0) + x_0 *e^{x_0}[/mm]
>
> >
> > ....
> > [mm]= e^{x_0} (x-x_{0}^2 +xx_0)[/mm]
> >
> > dann geht es um Tangenten, die durch [mm](0, t_{} )[/mm] gehen, also
> > kann ich das doch in [mm]t(x)[/mm] einsetzen, oder?
> >
> > dann hab ich:
> > [mm]T (x)= e^{x_0} (0-x_{0}^2 +0x_0) = -x_{0}^2 *e^{x_{0}}[/mm]
>
> >
> > jetzt muss ich überlegen, zu welchem [mm]t_{}[/mm] es kein, ein,
> > zwei oder drei [mm]x_0[/mm] gibt, oder?
>
>
> Richtig.
>
>
> >
> > also sollte ich [mm]t = -x_{0}^2 *e^{x_{0}}[/mm] nach [mm]x_0[/mm]
Hallo,
drehe die Aufgabe mal um.
Wir legen an jeden Kurvenpunkt die Tangente.
Diese schneidet die y-Achse irgendwo:
Deine Tangentengleichung
y= [mm] e^{x_0} (x-x_{0}^2 +xx_0) [/mm]
kann man schreiben als
y= [mm] (e^{x_0}+x_0)x \red{-e^{x_0}*x_0^2}
[/mm]
Die Tangenten schneiden also die y-Achse an der rot gekennzeichneten Stelle, also bei (0, [mm] \red{-e^{x_0}*x_0^2})
[/mm]
Da der Term [mm] \red{-e^{x_0}*x_0^2} [/mm] nicht positiv werden kann, treffen Tangenten schon mal nie die positive y-Achse.
Jetzt untersuche mal für 0 und für negative Zahlen, wie viele Werte [mm] x_0 [/mm] auf einen gleichen Wert [mm] \red{-e^{x_0}*x_0^2} [/mm] führen können.
Gruß Abakus
> > auflösen, aber da bräuchte ich Hilfe.
>
>
> Für den Fall, daß es von (0,t) aus mindestens
> eine Tangente an f gibt, ist das richtig.
>
> Solch eine Gleichung kannst Du nur numerisch lösen.
>
> Der einfache Fall, ist der, daß es von (0,t) keine
> Tangente an f geben soll. Schau Dir hierzu das
> Produkt [mm]-x_{0}^2 *e^{x_{0}}[/mm] an. Und
> bestimme, welche Werte dieses Produkt annehmen kann.
>
>
> > Ich würde erstmal den ln auf die Gleichung anwenden, aber
> > wenn ich mich nicht täusche ist [mm]ln(a*b) = ln(a) + ln(b)[/mm]
> > und ich habe hier [mm]a= -x_{0}^2[/mm] und der ln ist auf negativen
> > Zahlen nicht definiert, oder???
> >
> > Wo liegt der Fehler.....
> >
> > LG Ella
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:39 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo abakus, eine kleine 1 fehlt
[mm] y=[e^{x_0}(1+x_0)]x \red{-e^{x_0}\cdot{}x_0^2}
[/mm]
Steffi
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Mi 12.01.2011 | | Autor: | ella87 |
> Jetzt untersuche mal für 0 und für negative Zahlen, wie
> viele Werte [mm]x_0[/mm] auf einen gleichen Wert
> [mm]\red{-e^{x_0}*x_0^2}[/mm] führen können.
> Gruß Abakus
>
für b=0 ist das klar. Da habe ich den Nullproduktsatz,[mm]-e^{x_0}[/mm] kann nicht 0 werden, also ist [mm]x_{0}^2 = 0[/mm] also [mm]x_{0}= 0[/mm] . Also habe ich da eine Tangente.
und für alle anderen b müsste ich
[mm]-e^x_{0} *x_{0}^2 = b [/mm] nach [mm] x_0 [/mm] auflösen, aber das kann ich nicht.
[mm]-e^x_{0} *x_{0}^2 = b [/mm]
[mm]\gdw e^x_{0} = \bruch{-b}{x_{0}^2} [/mm]
[mm]\gdw x_{0} =ln (\bruch{-b}{x_{0}^2})[/mm]
[mm]\gdw x_{0} =ln (-b) -ln(x_{0}^2)[/mm]
[mm]\gdw x_{0} + ln(x_{0}^2) = ln(-b)[/mm]
[mm]\gdw x_{0} + ln(x_0 ) + ln(x_0 ) = ln(-b) [/mm]
[mm]\gdw x_{0} + 2 *ln(x_0 ) = ln(-b) [/mm]
dann komme ich nicht weiter ....
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Mi 12.01.2011 | | Autor: | abakus |
Hallo,
bewege dich mal in Gedanken von [mm] x=-\infty [/mm] kommend auf dem Graphen und lege immer die Tangente an.
Zuerst schneiden die Tangenten die y-Achse (im negativen Bereich) nahe Null. Je weiter du in Richtung Wendepunkt gehst, desto weiter wandern die Tangentenschnittpunkte nach unten und von der Wendestelle bis x=0 wandern sie wieder Richtung Ursprung. Für positive [mm] x_0 [/mm] wandern die Tangentenschnittpunkte dann unbegrenzt abwärts.
Anschaulich ist das sicher klar.
Mathematisch müsstest du eine Funktion aufstellen :
"y-Koordinate des Tangenten-Achsenschnittpunkts in Abhängigkeit von Stelle [mm] x_0".
[/mm]
Diese Funktion hat Extrempunkte (anschaulich für [mm] x_w [/mm] und für 0), die sich mit Hilfe der ersten Ableitung ermitteln lassen.
An diesem Verlauf lässt sich ablesen, welche Funktionswerte 1, 2 bzw. 3mal vorkommen.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Mi 12.01.2011 | | Autor: | ella87 |
> Hallo,
> bewege dich mal in Gedanken von [mm]x=-\infty[/mm] kommend auf dem
> Graphen und lege immer die Tangente an.
> Zuerst schneiden die Tangenten die y-Achse (im negativen
> Bereich) nahe Null. Je weiter du in Richtung Wendepunkt
> gehst, desto weiter wandern die Tangentenschnittpunkte nach
> unten und von der Wendestelle bis x=0 wandern sie wieder
> Richtung Ursprung. Für positive [mm]x_0[/mm] wandern die
> Tangentenschnittpunkte dann unbegrenzt abwärts.
> Anschaulich ist das sicher klar.
ich denke schon.
> Mathematisch müsstest du eine Funktion aufstellen :
> "y-Koordinate des Tangenten-Achsenschnittpunkts in
> Abhängigkeit von Stelle [mm]x_0".[/mm]
das ist doch [mm] b = -x_{0}^2 *e^{x_0}[/mm], oder?
> Diese Funktion hat Extrempunkte (anschaulich für [mm]x_w[/mm] und
> für 0), die sich mit Hilfe der ersten Ableitung ermitteln
> lassen.
das verstehe ich nicht so ganz. warum ist das so?
ich habe die Tangentegleichung für Tangenten an f aufgestellt, dann den y-Achselabschnitt isoliert und ermittle davon jetzt Extrempunkte (meinst du hier Nullstellen, Extremstellen und Endestellen oder sind Extrempunkte=Extremstellen ?)
wie bekomme ich hier die logische Kurve zur Anzahl der Tangenten in einem Punkt auf der y-Achse?
Gruß Ella
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Hallo,
zu betrachten sind fünf Intervalle:
(1) t>0 es gibt keine Tangente
(2) t=0 es gibt eine Tangente
(3) [mm] -\bruch{1}{e}
(4) [mm] -\bruch{4}{e^{2}}\le t\le -\bruch{1}{e} [/mm] es gibt zwei Tangenten
(5) [mm] t<-\bruch{4}{e^{2}} [/mm] es gibt eine Tangente
unstrittig sind (1) und (2)
die Funktion [mm] x*e^{x} [/mm] hat an der Stelle x=-1 Minimum [mm] f(-1)=-\bruch{1}{e} [/mm] gleichzeitig an der Stelle x=-2 Wendepunkt
jetzt kommt die Schnittstelle der Tangente mit der y-Achse ins Spiel [mm] x_0^{2}*e^{x_0}, [/mm] betrachtest du das als Funktion von [mm] x_0, [/mm] so ist an der Stelle x=-2 ein Maximum mit [mm] f(-2)=\bruch{4}{e^{2}} [/mm]
Steffi
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