Tangente an einem Graphen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] f_{k}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{x*(k-ln(x))^2} [/mm] , k [mm] \varepsilon \IR [/mm] und
[mm] D_{k} [/mm] = [mm] \IR^+ [/mm] \ [mm] {e^k}
[/mm]
Jeder Graph [mm] G_{k} [/mm] hat genau eine Tangente [mm] t_{k}, [/mm] die durch den Ursprung geht. Bestimmen Sie Funktionsgleichung für [mm] t_{k}.
[/mm]
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Ich habe die Ableitung richtig gebildet:
[mm] f_{k}'(x) [/mm] = [mm] \bruch{2-k+ln(x)}{x^2 * (k-ln(x))^3}
[/mm]
Aber das Problem ist, dass ich ja nicht weiß, an welcher Stelle die Tangente den Graphen berüht. Wie kriegt man das denn raus?
kann man sowas machen? [mm] f_{k}(x) [/mm] = mx
aber da kommt nichts sinnvolles raus.
kann jemand mir bitte dabei helfen?
vielen vielen dank schon mal im voraus
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Mi 11.04.2007 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Mathefan,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]f_{k}(x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{x*(k-ln(x))^2}[/mm] , k [mm]\varepsilon \IR[/mm]
> und
> [mm]D_{k}[/mm] = [mm]\IR^+[/mm] \ [mm]{e^k}[/mm]
>
> Jeder Graph [mm]G_{k}[/mm] hat genau eine Tangente [mm]t_{k},[/mm] die durch
> den Ursprung geht. Bestimmen Sie Funktionsgleichung für
> [mm]t_{k}.[/mm]
>
> Ich habe die Ableitung richtig gebildet:
>
> [mm]f_{k}'(x)[/mm] = [mm]\bruch{2-k+ln(x)}{x^2 * (k-ln(x))^3}[/mm]
>
> Aber das Problem ist, dass ich ja nicht weiß, an welcher
> Stelle die Tangente den Graphen berüht. Wie kriegt man das
> denn raus?
> kann man sowas machen? [mm]f_{k}(x)[/mm] = mx
> aber da kommt nichts sinnvolles raus.
Doch, du musst jetzt nur hier weiter machen:
Wenn [mm] B(x_B|y_B) [/mm] der Berührpunkt ist, muss gelten: $ m = [mm] f'(x_B) [/mm] $.
Außerdem weißt du, dass B gemeinsamer Punkt von Kurve und Tangente ist.
Ich mach' jetzt erstmal hier Schluss. Vielleicht reicht das schon und du kommst alleine weiter. Sonst melde dich nochmal.
Gruß
Sigrid
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> kann jemand mir bitte dabei helfen?
>
> vielen vielen dank schon mal im voraus
>
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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ne.. ich komme nicht klar...
also, muss ich denn jetzt sowas machen? f(x) = f'(x)*x ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Mi 11.04.2007 | | Autor: | Sigrid |
Hallo MatheFan,
Du hast:
$ [mm] f_{k}(x) [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{x\cdot{}(k-ln(x))^2} [/mm] $ , k $ [mm] \varepsilon \IR [/mm] $ und
$ [mm] f_{k}'(x) [/mm] $ = $ [mm] \bruch{2-k+ln(x)}{x^2 \cdot{} (k-ln(x))^3} [/mm] $
Die Gleichung der Tangente hat die Form $ y=mx $ mit $ m = [mm] f_k'(x_B) [/mm] = [mm] \bruch{2-k+ln(x_B)}{x_B^2 \cdot (k-ln(x_B))^3} [/mm] $,
also hat t die Gleichung
$ y = [mm] \bruch{2-k+ln(x_B)}{x_B^2 \cdot (k-ln(x_B))^3} \cdot [/mm] x $
Da B gemeinsamer Punkt der Kurve und der Tangente ist, gilt:
[mm] $y_B [/mm] = [mm] \bruch{1}{x_B \cdot (k-ln(x_B))^2} [/mm] $
und
$ [mm] y_B [/mm] = [mm] \bruch{2-k+ln(x_B)}{x_B^2 \cdot (k-ln(x_B))^3} \cdot x_B [/mm] $
Wenn du dieses Gleichungssystem löst, erhälst du den Berührpunkt.
Gruß
Sigrid
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so hatte ich es ja auch gemacht, nachdem du es mir eben erklärt hast. hab jetzt rausgefunden, dass ich einen kleinen rechenfehler hatte. deshalb hatte ich eine falsche lösung und war so unsicher. ansonsten hatte ich das schon eben, als du es mir erklärt hast, verstanden...
also ich habe für [mm] X_{B} [/mm] = e^(2-2k)
vielen vielen dank Sigrid ;)
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