Tangens und Cotanges < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für welche x [mm] \in \IR [/mm] gilt
2 cot(2x) = cot x - tan x ? |
Nun gut mir ist klar das der Tangens und Cotangesn Tangentenabschnitte des Einheitskreises sind:
also gilt:
cot x = [mm] \bruch{1}{tanx} [/mm] und auch tan x = [mm] \bruch{1}{cotx}
[/mm]
Zusätzlich gilt auch das tanx = cot(90-x)
aber ich weiß nicht wie ich hierbei weiter vorgehen soll....
Danke euch
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> Für welche x [mm]\in \IR[/mm] gilt
>
> 2 cot(2x) = cot x - tan x ?
> Nun gut mir ist klar das der Tangens und Cotangesn
> Tangentenabschnitte des Einheitskreises sind:
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> also gilt:
> cot x = [mm]\bruch{1}{tanx}[/mm] und auch tan x = [mm]\bruch{1}{cotx}[/mm]
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> Zusätzlich gilt auch das tanx = cot(90-x)
>
> aber ich weiß nicht wie ich hierbei weiter vorgehen
> soll....
>
> Danke euch
Hallo Steffen,
du brauchst noch eine Doppelwinkelformel, zum
Beispiel diese:
$\ [mm] tan(2\,x)\ [/mm] =\ [mm] \frac{2*tan(x)}{1-(tan(x))^2}$
[/mm]
Dann würde ich die Substitution $\ t:=tan(x)$ empfehlen.
LG Al-Chw.
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> > Für welche x [mm]\in \IR[/mm] gilt
> >
> > 2 cot(2x) = cot x - tan x ?
> > Nun gut mir ist klar das der Tangens und Cotangesn
> > Tangentenabschnitte des Einheitskreises sind:
> >
> > also gilt:
> > cot x = [mm]\bruch{1}{tanx}[/mm] und auch tan x = [mm]\bruch{1}{cotx}[/mm]
> >
> > Zusätzlich gilt auch das tanx = cot(90-x)
> >
> > aber ich weiß nicht wie ich hierbei weiter vorgehen
> > soll....
> >
> > Danke euch
>
>
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> Hallo Steffen,
>
> du brauchst noch eine Doppelwinkelformel, zum
> Beispiel diese:
>
> [mm]\ tan(2\,x)\ =\ \frac{2*tan(x)}{1-(tan(x))^2}[/mm]
>
> Dann würde ich die Substitution [mm]\ t:=tan(x)[/mm] empfehlen.
>
> LG Al-Chw.
>
Danke für deine Schnelle Antwort
Aber bräuchte ich nicht die Doppelwinkelfunktion des cot
Also :
[mm] \cot(2x)= \frac{ \cot^2 x - 1 }{2 \cot x } [/mm] = [mm] \frac{ \cot x - \tan x}{2} [/mm]
Somit würde folgen wenn ich beide seiten mit 2 multipliziere
[mm] 2\cot(2x)= [/mm] ={ [mm] \cot [/mm] x - [mm] \tan [/mm] x}
Aber das ist doch meine Angabe....hmm
Wie meintest du das mit dem Substituieren?
mfg
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> > > Für welche x [mm]\in \IR[/mm] gilt
> > >
> > > 2 cot(2x) = cot x - tan x ?
> > > Nun gut mir ist klar das der Tangens und Cotangesn
> > > Tangentenabschnitte des Einheitskreises sind:
> > >
> > > also gilt:
> > > cot x = [mm]\bruch{1}{tanx}[/mm] und auch tan x = [mm]\bruch{1}{cotx}[/mm]
> > >
> > > Zusätzlich gilt auch das tanx = cot(90-x)
> > >
> > > aber ich weiß nicht wie ich hierbei weiter vorgehen
> > > soll....
> > >
> > > Danke euch
> >
> >
> >
> > Hallo Steffen,
> >
> > du brauchst noch eine Doppelwinkelformel, zum
> > Beispiel diese:
> >
> > [mm]\ tan(2\,x)\ =\ \frac{2*tan(x)}{1-(tan(x))^2}[/mm]
> >
> > Dann würde ich die Substitution [mm]\ t:=tan(x)[/mm] empfehlen.
> >
> > LG Al-Chw.
> >
> Danke für deine Schnelle Antwort
>
> Aber bräuchte ich nicht die Doppelwinkelfunktion des cot
ich sagte: zum Beispiel die Doppelwinkelformel des Tangens
> Also :
>
> [mm]\cot(2x)= \frac{ \cot^2 x - 1 }{2 \cot x }\ =\ \frac{ \cot x - \tan x}{2}[/mm]
ja, meinetwegen, aber das geht auch so:
$\ [mm] cot(2\,x)\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{tan(2\,x)}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1-(tan(x))^2}{2*tan(x)}$
[/mm]
> Somit würde folgen wenn ich beide seiten mit 2
> multipliziere
>
> $\ [mm] 2\cot(2x)\ [/mm] =\ [mm] \cot [/mm] x - [mm] \tan [/mm] x$
>
> Aber das ist doch meine Angabe....hmm
>
> Wie meintest du das mit dem Substituieren?
tan(x) durch t und cot(x) durch [mm] \frac{1}{t} [/mm] abkürzen, um eine
Gleichung nur für t zu erhalten.
Tatsächlich gilt die Gleichung für (fast) alle x !
LG
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Ok habe ich das richtig verstanden:
cot(2x) = [mm] \bruch{1}{tan(2x)} [/mm]
Dies löst du mit den Doppelwinkelfunktionen auf:
cot(2x) = [mm] \bruch{1}{\bruch{2tan(x)}{1- tan²(x)} }
[/mm]
Dies nun auflösen und es folgt deinen Umformung:
$ \ [mm] cot(2\,x)\ [/mm] =\ [mm] \frac{1-(tan(x))^2}{2\cdot{}tan(x)} [/mm] $
Nun einsetzen
tan x = t und cot(x) = [mm] \bruch{1}{t}
[/mm]
Somit folgt:
[mm] 2\bruch{1}{t} [/mm] = [mm] \bruch{1-t²}{2t}
[/mm]
Dies nun auf t umformen ergibt:
4 = 1 -t²
t= [mm] -\wurzel{3}
[/mm]
wieder einsetzen für t:
tan x = [mm] -\wurzel{3}
[/mm]
hmm...
mfg
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> Ok habe ich das richtig verstanden:
>
> cot(2x) = [mm]\bruch{1}{tan(2x)}[/mm]
>
> Dies löst du mit den Doppelwinkelfunktionen auf:
>
> cot(2x) = [mm]\bruch{1}{\bruch{2tan(x)}{1- tan^2(x)} }[/mm]
Verzichte bitte auf die Verwendung des Tastatur-
exponenten 2, den man hier gar nicht sehen kann !
> Dies nun auflösen und es folgt deinen Umformung:
>
> [mm]\ cot(2\,x)\ =\ \frac{1-(tan(x))^2}{2\cdot{}tan(x)}[/mm]
>
> Nun einsetzen
>
> tan x = t und cot(x) = [mm]\bruch{1}{t}[/mm]
>
> Somit folgt:
> [mm]2\bruch{1}{t}[/mm] = [mm]\bruch{1-t^2}{2t}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Nein. das sollte doch heißen:
[mm]2*\bruch{1-t^2}{2t}\ =\ \frac{1}{t}-t[/mm]
LG Al-Chw.
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> Für welche x [mm]\in \IR[/mm] gilt
>
> 2 cot(2x) = cot x - tan x ?
> Nun gut mir ist klar das der Tangens und Cotangesn
> Tangentenabschnitte des Einheitskreises sind:
>
[mm] $2\cot(2\,x) [/mm] = [mm] \frac{2\,\cos(2\,x)}{\sin(2\,x)} [/mm] = [mm] \frac{2\,(\cos^2(x)-\sin^2(x))}{2\,\sin(x)\cos(x)} [/mm] = [mm] \frac{\cos^2(x)-\sin^2(x)}{\sin(x)\cos(x)}$
[/mm]
[mm] $\cot(x) -\tan(x) [/mm] = [mm] \frac{\cos(x)}{\sin(x)} [/mm] - [mm] \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$
[/mm]
Mache jetzt die Brüche in der zweiten Zeile gleichnamig, subtrahiere sie und ...
Gruß
mathemak
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