Tangens < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Do 19.01.2012 | | Autor: | fe11x |
| Aufgabe | | Zeige die Monotonie des Tangens auf dem Intervall [-pi/2, +pi/2] |
hej leute
wie kann man da am besten ansetzen?
ich weiß das tan(x) = sinx/cosx
aber ich weiß nicht wie ich da ansetzen soll.
grüße
felix
|
|
| |
|
Hallo,
darfst du die Ableitung verwenden? Dann bist du doch in einem Schritt fertig.
Soll aber die Definition der (hier: strengen) Monotgonier verwendet werden, so muss man wohl mit geeignten trigonometrischen Identitäten argumentieren, oder aber mit geometrischen Argumenten.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Do 19.01.2012 | | Autor: | fe11x |
ja gut. ich darf schon ableiten und ich weis daß die ableitung [mm] 1/(cosx)^2 [/mm] ist.
aber woher weiß ich das diese ableitung immer positiv ist?
|
|
|
| |
|
Hallo,
was weißt du über die Vorzeichen von Quadraten?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Do 19.01.2012 | | Autor: | fe11x |
ja gut. klar. [mm] cos(x)^2 [/mm] ist immer positiv. daher ist es auch der kehrwert.
sagt mir das strenge monotonie der stammfunktion aus?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> sagt mir das strenge monotonie der stammfunktion aus?
nein, aber viel besser: strenge Monotonie der Grundfunktion, nämlich tan(x).
PS: könntest deine Fragen als Fragen, und nicht als Mitteilungen stellen? Das wäre in deinem Interesse: sonst sieht das aus, als ob du schon alles verstanden hast und keine weiteren Fragen mehr offen sind.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:11 Do 19.01.2012 | | Autor: | fe11x |
ahh. super danke für deine hilfe
okay werde ich machen.
bin mit dem ganze noch nicht so vertraut :)
grüße
felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Do 19.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeige die Monotonie des Tangens auf dem Intervall [-pi/2,
> +pi/2]
das wäre schlecht, es sei denn, ihr habt sowas wie [mm] $\tan(-\pi/2)=-\infty$ [/mm] und [mm] $\tan(\pi/2)=\infty$ [/mm] definiert - bekanntlich ist [mm] $\cos(\pm \pi/2)=0\,.$ [/mm] Sicherlich meinst Du aber oben das Intervall [mm] $]-\pi/2,\pi/2[\,.$
[/mm]
Wir wollen nun zeigen, dass der Tangens sogar streng monoton wächst:
Für [mm] $-\pi/2 [/mm] < x < y < [mm] \pi/2$ [/mm] gilt
[mm] $$\sin(x)/\cos(x) [/mm] < [mm] \sin(y)/\cos(y)\,.$$
[/mm]
Weil [mm] $\cos(r) [/mm] > 0$ auf [mm] $(-\pi/2,\;\pi/2)$ [/mm] gilt, gilt folgende Äquivalenz
[mm] $$\tan(x) [/mm] < [mm] \tan(y)$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \sin(x)\cos(y) [/mm] < [mm] \sin(y)\cos(x)$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (\star)\;\;\;\sin(y)\cos(x)- \sin(x)\cos(y) [/mm] > [mm] 0\,,$$
[/mm]
und mit dem Additionstheorem folgt
[mm] $$(\star)\gdw\;(\star_2)\;\;\;\sin(y-x) >0\,.$$
[/mm]
Letztstehende Ungleichung gilt aber, weil sich nach den Voraussetzungen an [mm] $x\,$ [/mm] und [mm] $y\,$ [/mm] ergibt
$$0 < z:=y-x < [mm] \pi/2-(-\pi/2)=\pi\,,$$
[/mm]
und damit gilt [mm] $\sin(z) [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Durch "Rückwärtsverfolgen der [mm] $\Leftarrow$" [/mm] folgt also aus [mm] $(\star_2)$ [/mm] die Behauptung.
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
