Tabelle Diff.gl. 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 So 24.10.2010 | | Autor: | Stift82 |
| Aufgabe | Lösen Sie folgende Aufgabe:
[mm] y''-10y+x^2=0 [/mm] |
Hallo Leute,
ich habe nun schon ein paar dieser Aufgaben gerechnet, allerdings habe ich bei dieser Gleichung Schwierigkeiten mit dem Lösungansatz für [mm] y_p [/mm] .
allgemeine Lösung lautet:
[mm] y_0= C_1 * e^{10x}+C_2 [/mm]
das Störglied: [mm] g(x)=-x^2 [/mm]
Wenn ich es richtig verstanden habe, müsste für den Ansatz nun aus der Tabelle [mm] y_p [/mm] (für Dgl. 2.Ordnung) "Polynomfunktion vom Grade n" gewählt werden.
Dann müssten a=b=0 sein, d.h. Ansatz ist [mm] y_p=x^2*Q_n(x).
[/mm]
(meine Quelle ist Papula Band 2)
Wie ist denn nun [mm] Q_n(x) [/mm] zu verstehen, könnte mir da mal jemand ein Beispiel geben?
Es wäre mir so am verständlichsten.
Gruß
Szift
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Hallo Stift82,
> Lösen Sie folgende Aufgabe:
>
> [mm]y''-10y+x^2=0[/mm]
> Hallo Leute,
>
> ich habe nun schon ein paar dieser Aufgaben gerechnet,
> allerdings habe ich bei dieser Gleichung Schwierigkeiten
> mit dem Lösungansatz für [mm]y_p[/mm] .
>
> allgemeine Lösung lautet:
>
> [mm]y_0= C_1 * e^{10x}+C_2 [/mm]
Wenn die DGL
[mm]y''-10*y\blue{'}+x^{2}=0[/mm]
lautet, dann stimmt die allgemeine Lösung der homogenen DGL.
>
> das Störglied: [mm]g(x)=-x^2[/mm]
>
> Wenn ich es richtig verstanden habe, müsste für den
> Ansatz nun aus der Tabelle [mm]y_p[/mm] (für Dgl. 2.Ordnung)
> "Polynomfunktion vom Grade n" gewählt werden.
Nun, wenn die Störfunktion g(x) ein quadratisches Polynom ist,
dann mußt Du die partikuläre Lösung auch so ansetzen: [mm]y_{p}\left(x\right)=a_{2}*x^{2}+a_{1}*x+a_{0}[/mm]
> Dann müssten a=b=0 sein, d.h. Ansatz ist [mm]y_p=x^2*Q_n(x).[/mm]
> (meine Quelle ist Papula Band 2)
Da hast Du höchstwahrscheinlich die falsche Zeile erwischt.
Diesen Ansatz macht man nämlich nur, wenn die Störfunktion g(x)
zugleich Lösung der homogenen DGL ist und das charakteristische
Polynom der DGL doppelte Lösungen besitzt.
> Wie ist denn nun [mm]Q_n(x)[/mm] zu verstehen, könnte mir da mal
> jemand ein Beispiel geben?
Beispiel:
Die DGL
[mm]y''-4*y+4*y=e^{2*x}[/mm]
besitzt die allgemein Lösung
[mm]y\left(x\right)=c_{1}*e^{2*x}+c_{2}*x*e^{2*x}[/mm]
Da die Störfunktion zugleich Lösung der homogenen DGL ist,
ist hier mit [mm]y_{p}\left(x\right)=a*x^{2}*e^{2*x}[/mm] anzusetzen.
>
> Es wäre mir so am verständlichsten.
>
> Gruß
>
> Szift
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Stift82 |
Hallo MathePower,
vielen Dank für dein Beispiel. Soweit habe ich es nun auch verstanden.
Die Aufgabe konnte ich leider noch nicht lösen.
Im Buch Leupold Mathematik 2 Aufgabe 8.50 steht die Lösung
[mm] y=\bruch{x}{500}+\bruch{x^2}{100}+\bruch{x^3}{30}-\bruch{1}{5000}(e^{10x}-1) [/mm] für y(0)=0 und y'(0)=0.
und ich komme mit dem Ansatz: $ [mm] y_p=a_2x^2+a_1x+a_0 [/mm] $ immer auf $ [mm] y=\bruch{1}{10}x^2 [/mm] $
Mich wundert auch der Grad [mm] x^3 [/mm] in der Endlösung, so als wenn se noch einen anderen Lösungsansatz genommen hätten.
Was meinst du, MathePower?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:24 Mo 25.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Es gilt folgendes:
Sei p das char. Polynom der DGL.
Ist $s(x) = [mm] b_0+b_1x+ ...+b_mx^m$ [/mm] die Störfunktion und 0 eine k-fache Nullstelle von p, so führt der Ansatz
[mm] $x^k(a_0+a_1x+ ...+a_mx^m)$
[/mm]
zu einer Lösung der inhomogenen Gleichung.
Bei Dir ist k=1.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:18 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Stift82 |
Hallo Fred und MathePower,
vielen Dank euch beiden für eure Tipps. Ich habe die ganze Zeit einen Flüchtigkeitsfehler drin gehabt (die Aufgabe falsch abgeschrieben).
Sie hätte lauten müssen $ [mm] y''-10y'+x^2=0 [/mm] $
Gruß
Stift
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