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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Do 09.05.2013 | | Autor: | flare |
| Aufgabe | Gesucht ist das Polynom, welches durch diese drei Punkte geht:
P1(-1;3), P2(0;1),P3(2;3) ( Das ist eigentlich als Wertetablle mit x,y angegeben, aber ist ja Wurst)
Stellen Sie das erforderliche Gleichungssystem auf und notieren Sie es wie folgt in Matrixschreibweise [mm] A\vec{x}=\vec{b} [/mm] |
Kann es sein, dass die Aufgabe unzureichend gestellt ist?
Ich soll hier ein Gleichungssystem erstellen, aber woraus denn?
Es wird nur die Angabe gegeben, dass es sich um ein Polynom handelt. Die sind aber unendlich lang.
[mm] P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2} [/mm] usw...
Das ist die erste Übung zu Matrizen und sonst sind alles 3x3 Matrizen, kann ich davon ausgehen, dass hier ein Polynom zweiten Grades gemeint ist?
Denn dann würde ich das Polynom so aufstellen, dass ich die x-Werte in die Form einsetze und diese gleich dem jeweiligen y-Wert. Damit hätte ich dann ein vernünftiges Gleichungssystem. Meine Matrix A wären die a's mit den Faktoren der x-Werte, Vektor x wäre [mm] \vektor{1\\x\\x^{2}} [/mm] und b die y-Werte?
Vielen Dank für jegliche Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Do 09.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Gesucht ist das Polynom, welches durch diese drei Punkte
> geht:
> P1(-1;3), P2(0;1),P3(2;3) ( Das ist eigentlich als
> Wertetablle mit x,y angegeben, aber ist ja Wurst)
> Stellen Sie das erforderliche Gleichungssystem auf und
> notieren Sie es wie folgt in Matrixschreibweise
> [mm]A\vec{x}=\vec{b}[/mm][/b]
>
> Kann es sein, dass die Aufgabe unzureichend gestellt ist?
> Ich soll hier ein Gleichungssystem erstellen, aber woraus
> denn?
> Es wird nur die Angabe gegeben, dass es sich um ein Polynom
> handelt. Die sind aber unendlich lang.
> [mm]P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}[/mm] usw...
In der Tat, Polynome sind gradmäßig nicht nach oben begrenzt.
>
> Das ist die erste Übung zu Matrizen und sonst sind alles
> 3x3 Matrizen, kann ich davon ausgehen, dass hier ein
> Polynom zweiten Grades gemeint ist?
Durch drei Punkte ist nur ein Polynom zweiten Grades eindeutig festgelegt.
Wir gehen also von einem Polynom zweiten Grades, also f(x)=ax²+bx+c aus, mit den drei Punkten ergeben sich folgende Bedingungen:
[mm] $f(-1)=3\Rightarrow3=a\cdot(-1)^{2}+b\cdot(-1)+c\Leftrightarrow [/mm] a-b+c=3$
und
[mm] $f(0)=1\Rightarrow3=a\cdot0^{2}+b\cdot0+c\Leftrightarrow [/mm] c=1$
[mm] $f(2)=3\Rightarrow3=a\cdot2^{2}+b\cdot2+c\Leftrightarrow [/mm] 4a+2b+c=3$
>
> Denn dann würde ich das Polynom so aufstellen, dass ich
> die x-Werte in die Form einsetze und diese gleich dem
> jeweiligen y-Wert. Damit hätte ich dann ein vernünftiges
> Gleichungssystem. Meine Matrix A wären die a's mit den
> Faktoren der x-Werte, Vektor x wäre [mm]\vektor{1\\x\\x^{2}}[/mm]
> und b die y-Werte?
>
Wenn du damit
[mm] A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&0&0\\1&2&4\end{pmatrix} [/mm] und [mm] \vec{b}=\begin{pmatrix}3\\1\\3\end{pmatrix} [/mm] meinst, ja.
> Vielen Dank für jegliche Hilfe
Marius
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