TM II: Schubfluss etc. < Maschinenbau < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:15 Mo 21.01.2008 | | Autor: | peanut1 |
Hallo zusammen,
zu TMII, Elastostatik, hätte ich ein paar Fragen ,vielleicht kann mir die jemand beantworten:
Um den Verlauf der Schubspannung eines Profils zu bestimmen, verwendet man die Formel
tau(s)=(Q [mm] \* [/mm] S(s))/(I [mm] \* [/mm] t(s))
Also S(s) ist das statische Moment. Wie man das ausrechnet weiß ich , aber kann mir jemand sagen, was das eigentlich genau ist? Kann man sich darunter irgendetwas vorstellen?
Man könnte weiterhin den Schubmittelpunkt bestimmen. Und da weiß ich leider schon nicht so recht, wie man das überhaupt ausrechnet. Also der Schubmittelpunkt ist der Ort, um den man das Moment aus allen Schubflußkräften der einzelnen Teilflächen berechnen kann, so dass das Moment Null wird. (stimmt das?)
Und ich weiß, dass [mm] \summe [/mm] M(A)= Q [mm] \* [/mm] e- F [mm] \* [/mm] d =0 sin muss. Aber wie bestimme ich zum einen den Punkt A um den ich meine Momente bilde? Und zweitens, wie komme ich dann auf die Kraft F? Das ist doch die "Schubflussresultierende", oder?
Kann mir hier irgendjemand ein bisschen weiterhelfen? Wäre sehr dankbar!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Di 05.02.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:58 Fr 22.02.2008 | | Autor: | dergee |
Hallo,
Zum Statischen Moment
das statische Moment ist eine geometrische Größe. Es gibt in der Mechanik eine Reihe von Flächenintegralen. Das Flächenintegral "0"ter Ordnung ist einfach das Integral dA, also die Fläche. Das der ersten Ordnung ist das Integral x dA und heißt statisches Moment. Es hat die Einheit eines Volumens. Stelle dir eine quadratische Fläche vor, die auf dem Boden liegt, das ist das nullte Flächeningegral. Darauf wächst von links nach rechts ein Volumen, dessen zu dir zeigende Seite ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck ist, dessen Hypothenuse den Koordinatenursprung schneidet. Teilst du übrigens dieses Volumen durch die Fläche, erhältst du logischerweise den Schwerpunkt.
Es gibt auch das Flächenintegral der zweiten Ordnung, das ist ein Trägheitsmoment, in der Regel mit I bezeichnet.
Zum Schubmittelpunkt (SMP)
Der Schubmittelpunkt ist folgendermaßen definiert. Greift eine beliebige Querkraft am Profil an, stellen sich innere Schubspannungen ein. Diese mit der Dicke t von s multipliziert, ergeben den Schubfluss:
[mm] \Eqn{q(s) = \tau * t(s)}
[/mm]
Der Schubfluss wiederum über die Laufvariable integriert ergibt eine Kraft.
[mm] \Eqn{Q = \integral{q(s) ds}}
[/mm]
Diese Kräfte Q sind innere Kräfte, die aus dem Schubfluss resultieren. Diese erzeugen ein Moment um einen beliebigen Pol, dass genau so groß ist, wie das Moment, das die Äußere Querkraft um diesen Pol erzeugt, wenn sie im Schubmittelpunkt (SMP) angreift.
Daher kommt die Bilanz, die du oben aufführst, die heißen muss
[mm] \Eqn{Q_z * y_{SMP} = \summe_{i=1}^{n} Q_i * r_i}
[/mm]
woraus sich also machen lässt
[mm] \Eqn{y_{SMP} = \bruch{\summe_{i=1}^{n} Q_i * r_i}{Q_z}}
[/mm]
Darin sind die [mm] Q_i [/mm] die inneren Kräfte und das [mm] Q_z [/mm] die äußere selbige.
Es ist allerdings der Schubfluss eine Größe, die einzig von der Geometrie des Profils abhängt, da die inneren Reaktionen proportional von der Querkraft abhängen.
Demnach kann der SMP also über eine Momentenbilanz errechnet werden, so wie du es vorschlägst, wobei der Punkt, der "Pol" den du A nennst, beliebig wählbar ist. Er sollte geschickt gewählt werden, damit möglichst viele Hebelarme zu Null werden. Oder es kann ein allgemeiner Ausdruck hergeleitet werden.
In Kürze:
Am infinitesimalen Volumenelement kann für den 2D-Fall angenommen werden, dass Querkraft und Normalkraft gleichgerichtet und gleichgroß sind. Bezieht man beide auf ihre differenziellen Wirklängen (Kantenlängen des Volumenelements)und multipliziert sie mit den Differentialen derselben dx und ds so folgt der Ausdruck
[mm] \Eqn{\bruch{\partial n_x}{\partial x} + \bruch{\partial q}{\partial s} = 0}
[/mm]
Diesen nach q aufgelöst heißt, dass dn nach dx über ds integriert werden muss. Da [mm] n_x [/mm] aber gerade gleich [mm] \Eqn{\sigma_x * t(s)} [/mm] und für das sigma der etwas längliche Zusammenhang aus Normalkraft, Momenten, Haupt und Deviationsträgheiten verwendet werden kann, folgt, wenn dieser Ausdruck abgeleitet wird und ein Hauptachsensystem angenommen wird (Deviationsmomente werden Null), unter Berücksichtigung der statischen Momente und der Momentenlinien die sogenannte Kusinenformel (Q-S-I-nen Formel):
[mm] \Eqn{q(s) = - [Q_y \bruch{S_z(s)}{I_z}+Q_z\bruch{S_y(s)}{I_y}]}
[/mm]
Nimmst du eine Kraftkomponente zu Null an, kannst du diesen Ausdruck in obiges Integral von q(s) einsetzen. Multiplizierst du beide Seiten dessen mit dem Radius (links mit dem Radius der Äußeren Kraft, rechts mit dem radius r(s) des Punktes s auf dem Profil zu einem beliebigen Pol (dein Punkt A), so erhältst du eine Momentenbilanz, in der der Radius der äußeren Kraft gleich dem Abstand des Poles zum SMP ist. Daher kannst du die Gleichung durch die Kraft teilen, wodurch sich der geometrische Charakter dieses Zusammenhangs zeigt und es bleibt der Ausdruck
[mm] \Eqn{y_M = - \bruch{1}{I_y}\integral_{s_{Anf}}^{s_{End}}{s_y(s) r_t(s) ds}}
[/mm]
Hiermit kann sehr einfach bereichsweise integriert werden, summierst du die Ergebnisse (Drehsinn um den Pol beachten) so erhältst du den Abstand deines SMP zum Pol.
Liebe Grüße, hoffe ich konnte helfen.
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