TM Gleichungen umstellen < Maschinenbau < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Do 14.01.2016 | | Autor: | smilow |
| Aufgabe | | Eine Walze soll über eine Kante der Höhe h gezogen werden. In welchem Winkel [mm] \alpha [/mm] muss man ziehen, damit die Kraft F minimal wird? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich bin im Zuge meiner Klausur-Vorbereitung gerade dabei meine alten Übungsaufgaben zu rechnen. Ich hänge momentan leider beim umstellen einer Funktion und sehe einfach nicht wo mein Fehler liegt, obwohl eigentlich recht einfach.
Ich habe wie üblich damit begonnen meine Gleichgewichtsbedingungen aufzustellen, die in dieser form auch korrekt sind.
[mm] \summe Fx=0=F*\cos \alpha +R*\cos \beta [/mm]
[mm] \summe Fx=0=F*\sin \alpha +R*\sin \beta-G [/mm]
Die erste Gleichung habe ich dann nach R umgestellt und bekomme dann:
[mm] R=-\bruch{F*\cos \alpha}{\cos \beta} [/mm]
Danach scheitere ich dann aber irgendwie komplett, egal was ich rechne ich komme einfach nicht auf die richtige Lösung, die in meiner Aufgabenlösung angegeben ist:
[mm] F=G*\bruch{\cos\beta}{\sin\alpha*\cos\beta+\sin\beta*\cos\alpha} [/mm]
Mich würde vor allem eben der Rechenweg interessieren, oder ein bis zwei Tipps wie es weitergeht, dürfte ja eigentlich nicht so schwierig sein, ich sehe es nur leider nicht :/
Vielen Dank im Vorraus :)
Gruß smilow
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Do 14.01.2016 | | Autor: | chrisno |
Stelle nun auch die zweite Gleichung nach R um.
Setze beide gleich, damit ist das R weg.
Multipliziere die Gleichung mit beiden Nennern, dann ist keiner mehr da.
Sortiere die Terme mit F auf eine Seite, der mit G bleibt auf der anderen.
Klammere F aus und teile durch die Klammer.
(Ein Vorzeichen kommt bei mir anderes heraus, ich habe aber nur ganz schnell gerechnet.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Fr 15.01.2016 | | Autor: | smilow |
Mit dem Gleichsetzen stand ich wohl irgendwie auf dem Schlauch danke :)
Bekomme es allerdings trotzdem nicht in die gleiche Form wie in meiner Lösung, ich muss irgendwo einen ganz groben Schnitzer eingebaut haben..
Gleichsetzen ist klar alles super. Dann multipliziere ich mit [mm] cos\beta [/mm] und [mm] sin\beta
[/mm]
Soweit so gut habe dann alles sortiert und f ausgeklammert, dann komme ich allerdings immer nur zu folgendem Ergebnis
[mm]F=\bruch{-\cos\alpha*\sin\beta-\sin\alpha*\cos\beta+G*\cos\beta}{\cos\beta+\sin\beta} [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Fr 15.01.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Mit dem Gleichsetzen stand ich wohl irgendwie auf dem
> Schlauch danke :)
Aus
[mm] 0=F\cdot{}\cos(\alpha)+R\cdot{}\cos(\beta)
[/mm]
solltest du auf
[mm] R=-\frac{F\cdot\cos(\alpha)}{\cos(\beta)}
[/mm]
kommen.
Ebenso solltest du aus
[mm] 0=F\cdot{}\sin(\alpha)+R\cdot{}\sin(\beta)-G
[/mm]
die Gleichung
[mm] R=\frac{G-F\cdot\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}
[/mm]
erhalten.
>
> Bekomme es allerdings trotzdem nicht in die gleiche Form
> wie in meiner Lösung, ich muss irgendwo einen ganz groben
> Schnitzer eingebaut haben..
>
> Gleichsetzen ist klar alles super. Dann multipliziere ich
> mit [mm]cos\beta[/mm] und [mm]sin\beta[/mm]
> Soweit so gut habe dann alles sortiert und f
> ausgeklammert, dann komme ich allerdings immer nur zu
> folgendem Ergebnis
>
> [mm]F=\bruch{-\cos\alpha*\sin\beta-\sin\alpha*\cos\beta+G*\cos\beta}{\cos\beta+\sin\beta}[/mm]
>
Obige Gleichungen gleichgesetzt ergibt:
[mm] \frac{G-F\cdot\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}=-\frac{F\cdot\cos(\alpha)}{\cos(\beta)}
[/mm]
Wenn du das mit den beiden Nennern multiplizierst, bekommst du
[mm] (G-F\cdot\sin(\alpha))\cdot\cos(\beta)=-(F\cdot\cos(\alpha))\cdot\sin(\beta)
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow G\cdot\cos(\beta)=F\cdot\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)-F\cdot\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)
[/mm]
Klammere nun rechtsseitig F aus und teile passend.
Ich erhalte allerdings gegenüber der Musterlösung dann ein - im Nenner.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 Fr 15.01.2016 | | Autor: | smilow |
Perfekt! Danke, hab meinen Fehler gefunden, stand da wohl irgendwie komplett auf dem Schlauch :)
Bin außerdem auf die Musterlösung gekommen, hatte ziemlich zum Anfang einen Vorzeichenfehler, jetzt passt alles, und ich hab schon über nen Studiengangwechsel nachgedacht ;)
gruß smilow
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Fr 15.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Eine Walze soll über eine Kante der Höhe h gezogen
> werden. In welchem Winkel [mm]\alpha[/mm] muss man ziehen, damit die
> Kraft F minimal wird?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> ich bin im Zuge meiner Klausur-Vorbereitung gerade dabei
> meine alten Übungsaufgaben zu rechnen. Ich hänge momentan
> leider beim umstellen einer Funktion und sehe einfach nicht
> wo mein Fehler liegt, obwohl eigentlich recht einfach.
> Ich habe wie üblich damit begonnen meine
> Gleichgewichtsbedingungen aufzustellen, die in dieser form
> auch korrekt sind.
>
> [mm]\summe Fx=0=F*\cos \alpha +R*\cos \beta [/mm]
>
> [mm]\summe Fx=0=F*\sin \alpha +R*\sin \beta-G [/mm]
>
> Die erste Gleichung habe ich dann nach R umgestellt und
> bekomme dann:
>
> [mm]R=-\bruch{F*\cos \alpha}{\cos \beta}[/mm]
>
> Danach scheitere ich dann aber irgendwie komplett, egal was
> ich rechne ich komme einfach nicht auf die richtige
> Lösung, die in meiner Aufgabenlösung angegeben ist:
>
>
> [mm]F=G*\bruch{\cos\beta}{\sin\alpha*\cos\beta+\sin\beta*\cos\alpha}[/mm]
Ich hab hier allerding raus:
[mm]F=G*\bruch{\cos\beta}{\sin\alpha*\cos\beta-\sin\beta*\cos\alpha}[/mm]
Das hab ich bekommen, in dem ich [mm]R=-\bruch{F*\cos \alpha}{\cos \beta}[/mm] in die 2. Gleichung eingesetzt habe und dann nach F aufgelöst habe
FRED
>
> Mich würde vor allem eben der Rechenweg interessieren,
> oder ein bis zwei Tipps wie es weitergeht, dürfte ja
> eigentlich nicht so schwierig sein, ich sehe es nur leider
> nicht :/
>
> Vielen Dank im Vorraus :)
>
> Gruß smilow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Fr 15.01.2016 | | Autor: | smilow |
Das wäre die normale Vorgehensweise die wir sonst auch immer benutzen und die mir so eigentlich auch keine Probleme bereitet...
Wenn ich dass allerdings auf diese Art versucht habe, landete ich immer bei:
[mm] F=G*\bruch{\cos\beta}{\sin\alpha+\cos\alpha} [/mm]
Hoffe es ist ok, wenn ich hier doch nochmal eine weiterführende Frage zu der Aufgabe angliedere.
Es geht ja darum unter welchem Winkel die Kraft F wirken muss, damit diese möglichst gering ist, spontan würde ich dann sagen, der Nenner möglichst groß werden muss, desto kleiner wirkt der Faktor mit dem die Kraft G multipliziert wird..
Allerdings verstehe ich den Rest der Rechnung nicht mehr so ganz, hab leider nur eine begrenzte Mitschrift zur Verfügung..
[mm] \bruch{d}{d\alpha}(\sin\alpha*\cos\beta+\sin\beta*\cos\alpha)=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow \cos\beta*\cos\alpha-\sin\beta*\sin\alpha=0 \qquad |:(\cos\alpha*\sin\beta)[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{\cos\beta}{\sin\beta}-\tan\alpha=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow \tan\alpha=\cot\beta [/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha=arctan(\cot\beta) [/mm]
Der Rest ist dann wieder klar, nur durch diese Schritte blicke ich leider nicht mehr durch...
Gruß smilow
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Fr 15.01.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Das wäre die normale Vorgehensweise die wir sonst auch
> immer benutzen und die mir so eigentlich auch keine
> Probleme bereitet...
>
> Wenn ich dass allerdings auf diese Art versucht habe,
> landete ich immer bei:
>
> [mm]F=G*\bruch{\cos\beta}{\sin\alpha+\cos\alpha} [/mm]
ist dir der Fehler inzwischen klar?
Wenn nicht:
[mm]G\cdot\cos(\beta)=F\cdot\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)-F\cdot\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)[/mm]
[mm]\Leftrightatrrow G\cdot\cos(\beta)=F\cdot(\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta))[/mm]
[mm]\Leftrightatrrow \frac{G\cdot\cos(\beta)}{\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)}=F[/mm]
>
> Hoffe es ist ok, wenn ich hier doch nochmal eine
> weiterführende Frage zu der Aufgabe angliedere.
>
> Es geht ja darum unter welchem Winkel die Kraft F wirken
> muss, damit diese möglichst gering ist, spontan würde ich
> dann sagen, der Nenner möglichst groß werden muss, desto
> kleiner wirkt der Faktor mit dem die Kraft G multipliziert
> wird..
In der Tat ist F (in Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] - sofern [mm] \beta [/mm] fest und unabhängig von [mm] \alpha [/mm] ist) dann am größten, wenn der Nenner am kleinsten ist.
Also suchst du den Winkel [mm] \alpha [/mm] für den der Nenner möglichst groß wird - eine klassische Aufgabe, einen Hochpunkt zu suchen.
> Allerdings verstehe ich den Rest der Rechnung nicht mehr
> so ganz, hab leider nur eine begrenzte Mitschrift zur
> Verfügung..
>
> [mm]\bruch{d}{d\alpha}(\sin\alpha*\cos\beta+\sin\beta*\cos\alpha)=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \cos\beta*\cos\alpha-\sin\beta*\sin\alpha=0 \qquad |:(\cos\alpha*\sin\beta)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{\cos\beta}{\sin\beta}-\tan\alpha=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \tan\alpha=\cot\beta[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \alpha=arctan(\cot\beta)[/mm]
Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist doch, dass die erste Ableitung Null ist. Also leite die "Nennerfunktion" [mm] N(\alpha;\beta)=\overbrace{N_{\beta}(\alpha)}^{\text{Schulnotation}}=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta) [/mm] nach [mm] \alpha [/mm] ab, und setze dieses gleich Null
Und nichts anderes sagt die "Forderung" [mm] \frac{d}{d\alpha}=0
[/mm]
Und mit
[mm] N_{\beta}(\alpha)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)
[/mm]
ergibt sich:
[mm] \frac{dN}{d\alpha}=\overbrace{N_{\beta}'(\alpha)}^{\text{Schulnotation}}=\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)\red{+}\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)
[/mm]
Der Vorzeichenfehler schleppt sich also immer noch durch die Rechnung.
Setzt du dieses dann Null, und löst nach [mm] \alpha [/mm] auf, bekommst du den Wert für [mm] \alpha [/mm] an dem die erste Ableitung den Wert Null annimmt. Nun müsstest du noch die Probe machen (zweite Ableitung kleiner als Null oder Vorzeichenwechselkriterium von + zu - in der ersten Ableitung in einer kleinen Umgebung um den errechneten Wert)
Das ganze musst du aber aus der Schulzeit noch kennen, erinnere dich da an den Stoff der Oberstufe.
>
> Der Rest ist dann wieder klar, nur durch diese Schritte
> blicke ich leider nicht mehr durch...
>
> Gruß smilow
>
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:44 Fr 15.01.2016 | | Autor: | smilow |
So jetzt aber endgültig.. Vielen Dank!!
Habe meinen Fehler beim umstellen gefunden, und den Rest der Rechnung jetzt auch verstanden..
Eigentlich eine einfache Geschichte, hab in der Übung deswegen wohl so wenig dazu geschrieben, das hat sich dann jetzt gerächt ;)
Hab es jetzt und im nachhinein war es dann doch einfach :)
Nochmal vielen Dank!
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