TAYLORpolynom 3. Grades < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo an Alle!
Also in der Aufgabe ist das Taylorpolynom 3. Grades [mm] T_{3}(u,v) [/mm] im Punkt (1,1) gesucht. f(x,y) lautet [mm] x^y. [/mm] Es gitl also [mm] (1+u)^{1+v}=T_{3}(u,v)+R_{3}(u,v)
[/mm]
Hierfür habe ich folgendes verwendet:
[mm] f(u+1,v+1)=f(1,1)+\summe_{1\le(p+q)\le3} \bruch{1}{p!q!}*\bruch{\partial^p*\partial^q}{\partial(y^q)\partial(x^p)} *v^q*u^p
[/mm]
Also:
[mm] 1+\bruch{\partial f(1,1)}{\partial x}*u+\bruch{\partial f(1,1)}{\partial y}*v+ \bruch{\partial^2 f(1,1)}{\partial x^2}*\bruch{u^2}{2}+\bruch{\partial^2 f(1,1)}{\partial y^2}*\bruch{v^2}{2}+ \bruch{\partial f(1,1)*\partial f(1,1)}{\partial x *\partial y }*vu+ \bruch{\partial^3 f(1,1)}{\partial x^3}*\bruch{u^3}{6}+ \bruch{\partial^3 f(1,1)}{\partial y^3}*\bruch{v^3}{6}+\bruch{\partial^2 f(1,1)*\partial f(1,1)}{\partial x^2*\partial y}*\bruch{u^2v}{2}+\bruch{\partial f(1,1)*\partial^2 f(1,1)}{\partial x * \partial y^2}*\bruch{uv^2}{2} [/mm] + [mm] R_{3}(u,v)
[/mm]
Für die partiellen Ableitungen habe ich erhatlen:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] = yx^(y-1)
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] = [mm] x^y*lnx
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2} [/mm] = [mm] (y^2-y)x^{y-2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial y^2} [/mm] = [mm] x^y*ln^2x
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^3 f}{\partial x^3} [/mm] = [mm] (y^2-y)(y-2)x^{y-3}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^3 f}{\partial y^3} [/mm] = [mm] x^y*ln^3x
[/mm]
Wenn ich jetzt den Punkt (1,1) in die entsprechenden Ableitungen einsetzte erhalte ich alles in allem: 1+u + [mm] R_{3}(u,v) [/mm] der Rest wird da Null;
Ich fresse einen Besen wenn das richtig ist, ich weiß nur nicht was falsch ist, könnte mir aber vorstellen schon der Ansatz; deswegen hab ich auch alles so ausführlich -puhh- hingeschrieben.
Würde mich über jedes statemant freuen!!! Vielen Dank schon mal im Vorraus
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