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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:51 Di 03.04.2012 | | Autor: | Hastur |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des folgenden Systems:
[mm] \underline{y'} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 5 & -1 } \underline{y} [/mm] |
Hallo,
ich stecke gerade in Klausurvorbereitungen und bin noch ein wenig unsicher im Bezug auf bestimmte DGL-Arten. Die vorliegende Aufgabe ist aus einer Sammlung Vorbereitungsaufgaben, die wir erhalten haben, jedoch ohne Lösung.
Ich habe bereits eine "Lösung", bei der ich mir aber wie gesagt noch unsicher vorkomme und hätte deswegen gerne eine kurze Überprüfung, auch im Bezug auf korrekte Vorgehensweise bzw. Argumentation.
[unterstrichene Variablen bezeichnen immer Vektoren]
Ansatz: Die allgemeine Lösung [mm] \underline{y} [/mm] setzt sich aus den zwei Lösungen [mm] \underline{y_{1,2}} [/mm] zusammen, welche im Folgenden zu bestimmen sind.
Berechne Eigenwerte der Koeffizientenmatrix A = [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 5 & -1 }
[/mm]
[...]
Charakteristisches Polynom ergibt: [mm] \lambda^{2} [/mm] = 4 [mm] \Rightarrow \lambda_{1,2} [/mm] = [mm] \pm [/mm] 2i
Es ergeben sich also Lösungen der Form [mm] \underline{v}*e^{\lambda * x}, \overline{\underline{v}}*e^{\overline{\lambda} * x} [/mm] , wobei [mm] \underline{v} [/mm] den Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] = 2i bezeichnet.
Berechne Eigenvektor:
(A - [mm] 2iE_{2}) [/mm] * [mm] \underline{v} [/mm] = [mm] \underline{0}
[/mm]
[...]
Da eine Gleichung unbestimmt, setze v1 = [mm] \alpha
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] v2 = [mm] \alpha [/mm] - [mm] 2i*\alpha
[/mm]
[mm] \Rightarrow \underline{v} [/mm] = [mm] \alpha [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 1-2i}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \overline{\underline{v}} [/mm] = [mm] \alpha [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 1+2i}
[/mm]
Die reelle Lösung setzt sich nun zusammen aus [mm] \underline{y_{1}}(x) [/mm] = [mm] Re(\underline{v}*e^{2i * x}) [/mm] und [mm] \underline{y_{2}}(x) [/mm] = [mm] Im(\underline{v}*e^{2i * x})
[/mm]
Mit Hilfe der Eulerformel komme ich zu dem Ergebnis:
[mm] \underline{v}*e^{2i * x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1-2i} [/mm] * cos(2x) + i*sin(2x)
[mm] \rightarrow Re(\underline{v}*e^{2i * x}) [/mm] = [mm] \vektor{cos(2x) \\ cos(2x)+2sin(2x)}
[/mm]
[mm] \rightarrow Im(\underline{v}*e^{2i * x}) [/mm] = [mm] \vektor{sin(2x) \\ sin(2x)-2cos(2x)}
[/mm]
was zur reellen Lösung
[mm] \underline{y}(x) [/mm] = [mm] \vektor{cos(2x) + sin(2x) \\ 3sin(2x)-cos(2x)}
[/mm]
führt.
Vielen Dank für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:59 Di 03.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des folgenden
> Systems:
>
> [mm]\underline{y'}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 5 & -1 } \underline{y}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich stecke gerade in Klausurvorbereitungen und bin noch ein
> wenig unsicher im Bezug auf bestimmte DGL-Arten. Die
> vorliegende Aufgabe ist aus einer Sammlung
> Vorbereitungsaufgaben, die wir erhalten haben, jedoch ohne
> Lösung.
>
> Ich habe bereits eine "Lösung", bei der ich mir aber wie
> gesagt noch unsicher vorkomme und hätte deswegen gerne
> eine kurze Überprüfung, auch im Bezug auf korrekte
> Vorgehensweise bzw. Argumentation.
> [unterstrichene Variablen bezeichnen immer Vektoren]
>
> Ansatz: Die allgemeine Lösung [mm]\underline{y}[/mm] setzt sich aus
> den zwei Lösungen [mm]\underline{y_{1,2}}[/mm] zusammen, welche im
> Folgenden zu bestimmen sind.
>
> Berechne Eigenwerte der Koeffizientenmatrix A = [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 5 & -1 }[/mm]
>
> [...]
> Charakteristisches Polynom ergibt: [mm]\lambda^{2}[/mm] = 4
> [mm]\Rightarrow \lambda_{1,2}[/mm] = [mm]\pm[/mm] 2i
>
> Es ergeben sich also Lösungen der Form
> [mm]\underline{v}*e^{\lambda * x}, \overline{\underline{v}}*e^{\overline{\lambda} * x}[/mm]
> , wobei [mm]\underline{v}[/mm] den Eigenvektor zum Eigenwert [mm]\lambda[/mm]
> = 2i bezeichnet.
>
> Berechne Eigenvektor:
>
> (A - [mm]2iE_{2})[/mm] * [mm]\underline{v}[/mm] = [mm]\underline{0}[/mm]
> [...]
> Da eine Gleichung unbestimmt, setze v1 = [mm]\alpha[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] v2 = [mm]\alpha[/mm] - [mm]2i*\alpha[/mm]
> [mm]\Rightarrow \underline{v}[/mm] = [mm]\alpha[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 1-2i}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \overline{\underline{v}}[/mm] = [mm]\alpha[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 1+2i}[/mm]
>
> Die reelle Lösung setzt sich nun zusammen aus
> [mm]\underline{y_{1}}(x)[/mm] = [mm]Re(\underline{v}*e^{2i * x})[/mm] und
> [mm]\underline{y_{2}}(x)[/mm] = [mm]Im(\underline{v}*e^{2i * x})[/mm]
>
> Mit Hilfe der Eulerformel komme ich zu dem Ergebnis:
>
> [mm]\underline{v}*e^{2i * x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1-2i}[/mm] * cos(2x) +
> i*sin(2x)
Setze Klammern !
[mm]\underline{v}*e^{2i * x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1-2i}[/mm] * (cos(2x) + i*sin(2x))
>
>
> [mm]\rightarrow Re(\underline{v}*e^{2i * x})[/mm] = [mm]\vektor{cos(2x) \\ cos(2x)+2sin(2x)}[/mm]
>
> [mm]\rightarrow Im(\underline{v}*e^{2i * x})[/mm] = [mm]\vektor{sin(2x) \\ sin(2x)-2cos(2x)}[/mm]
>
> was zur reellen Lösung
>
> [mm]\underline{y}(x)[/mm] = [mm]\vektor{cos(2x) + sin(2x) \\ 3sin(2x)-cos(2x)}[/mm]
>
> führt.
??? Das ist nur eine Lösung des Systems !
Setze
[mm] y_1(x):=$ \vektor{cos(2x) \\ cos(2x)+2sin(2x)} [/mm] $ und [mm] y_2(x):= [/mm] $ [mm] \vektor{sin(2x) \\ sin(2x)-2cos(2x)} [/mm] $,
so lautet die allgemeine Lösung:
[mm] c_1y_1+c_2y_2 (c_1,c_2 \in \IR)
[/mm]
FRED
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> Vielen Dank für eure Hilfe!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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