Systematisierung d. Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:22 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Cecily |
Hallo, ich muss für die 11.Klasse Mathematik eine Systematisierung aller Funktionen und zughöriger Eigneschaften machen, lieder habe ich nicht zu allem Infromationen gefunden, sodass meine Tabelle an manchen Stellen noch gefüllt werden müsste.
1) Monotonie:
bei quadratischen Gleichungen, wie könnte man da die Monotonie beschreiben?
Könnte man sagen, links vom Scheitelpunkt ist der Graph fallend und rechts vom Scheitelpunkt steigend?
Bei den Potenzfunktionen (Wurzelfunktionen habe ich bei meiner Systematisierung als eine Möglichkeit der Poetnzfunktion, nur eben mit nicht ganzzahligem Exponent abgehandelt)? Muss ich dann zwischen allen Fällen unterscheiden, das wären bei mir:
[mm] y=x^n
[/mm]
1.n positiv gerade
2.n positiv ungerade
3.n negativ ganzzahlig
4.n positiver Bruch
5.n negativer Bruch
bei Logarithmusfunktionen habe ich erhlich gesagt nicht so viel Ahnung, haben diese dieselbe Monotonie wie die Exponentialfunktionen?
bei den trigonometrischen Funktionen bin ich auch nicht so weiter gekommen. könnte man sagen, dass bei sinx der Graph bis zu 1/4 der Periode stiegt, dfann bis 3/4 der Periode fällt und dann wieder steigt?
2) Asymptote:
für welche Funktionen gibt es die denn üerhaupt? für lineare und quadratische wohl nicht, denke ich, tzumindest kann ich da nicht sehen, dass y gegen irgendetwas geht, bei Potenzfunktionen auch nicht. Bei den trigonometrischen Funktionen wüsste ich auch nicht, wo eine sein sollte. Ich hoffe, meine Fragen scheinen nicht allzu dumm, aber das mit der Asymptote habe ich noch nie ganz begriffen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> 1) Monotonie:
> bei quadratischen Gleichungen, wie könnte man da die
> Monotonie beschreiben?
> Könnte man sagen, links vom Scheitelpunkt ist der Graph
> fallend und rechts vom Scheitelpunkt steigend?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") genau - oder eben umgekehrt, falls der Scheitelpunkt ein Hochpunkt ist. Übrigens heißt es "quadratische Funktion" und nicht "quadratische Gleichung" - eine Gleichung ist nämlich halt nur eine Gleichung, bei der da einfach ein Gleichheitszeichen steht und das was links steht gleich dem, was rechts steht, ist. Das ist aber keine Funktion, wo einem x ein a zugeordnet wird.
Und du kannst sogar sagen, dass die Funktion streng monoton fällt bzw. steigt.
> Bei den Potenzfunktionen (Wurzelfunktionen habe ich bei
> meiner Systematisierung als eine Möglichkeit der
> Poetnzfunktion, nur eben mit nicht ganzzahligem Exponent
> abgehandelt)? Muss ich dann zwischen allen Fällen
> unterscheiden, das wären bei mir:
zur Wurzelfunktion würde mir jetzt auch nichts anderes einfallen...
> [mm]y=x^n[/mm]
>
> 1.n positiv gerade
> 2.n positiv ungerade
> 3.n negativ ganzzahlig
> 4.n positiver Bruch
> 5.n negativer Bruch
müsstest du nicht auch noch zwischen negativ gerade und negativ ungerade unterscheiden? Ansonsten wüsste ich gerade nicht, wie man es noch anders machen kann - ich schätze, du musst alle diese Fälle betrachten.
> bei Logarithmusfunktionen habe ich erhlich gesagt nicht so
> viel Ahnung, haben diese dieselbe Monotonie wie die
> Exponentialfunktionen?
Würde ich meinen - da die Exponentialfunktion streng monoton wächst und somit die Logarithmusfunktion ebenfalls streng monoton wächst.
> bei den trigonometrischen Funktionen bin ich auch nicht so
> weiter gekommen. könnte man sagen, dass bei sinx der Graph
> bis zu 1/4 der Periode stiegt, dfann bis 3/4 der Periode
> fällt und dann wieder steigt?
Im Prinzip schon. Du könntest es ja mit der Ableitung begründen, denn wenn die positiv ist, dann ist die Funktion ja steigend, und bei [mm] "\bruch{1}{4} [/mm] der Periode" liegt ja ein Hochpunkt, ist also die Ableitung =0, und danach wird die Ableitung negativ, also muss die Funktion fallen.
> 2) Asymptote:
>
> für welche Funktionen gibt es die denn üerhaupt? für
> lineare und quadratische wohl nicht, denke ich, tzumindest
> kann ich da nicht sehen, dass y gegen irgendetwas geht, bei
> Potenzfunktionen auch nicht. Bei den trigonometrischen
> Funktionen wüsste ich auch nicht, wo eine sein sollte. Ich
> hoffe, meine Fragen scheinen nicht allzu dumm, aber das mit
> der Asymptote habe ich noch nie ganz begriffen.
Nein - deine Fragen sind nicht dumm - mit Aysmptoten hab ich es auch nicht so... Aber es gibt in der Regel welche für gebrochen rationale Funktionen. Evtl. hilft dir unsere Mathebank weiter:  Asymptote
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:06 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Cecily |
>Und du kannst sogar sagen, dass die Funktion streng monoton fällt bzw. >steigt.
Ja, das "streng monoton" hatte ich vergessen.
>müsstest du nicht auch noch zwischen negativ gerade und negativ ungerade >unterscheiden? Ansonsten wüsste ich gerade nicht, wie man es noch anders >machen kann - ich schätze, du musst alle diese Fälle betrachten.
Haben wir im Unterricht nicht gemacht, ich denke, es ist relativ irrelavant, da ja in beiden Fällen ein Bruch rauskommt bei negativen Zahlen, nur nicht genau der gleiche. bei den positiven Zahlen dagegen macht das ja einen Unterschied:
[mm] (-1)^3 [/mm] = -1, [mm] (-1)^2 [/mm] = 1 [mm] 1^2=1
[/mm]
denke ich zumindest
Ich habe mir dann folgendes überlegt:
ganzzahlig:für n pos.ger.:für x [mm] \le [/mm] 0 streng monoton fallend
für x [mm] \ge [/mm] 0 streng monoton steigend
für
n pos.unger.::streng monoton steigend
für n negativ:für x<0 fallend, für x>0 fallendn
positiver Bruch: streng monoton steigendn
negativer Bruch:streng monoton fallend
ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet.
>Nein - deine Fragen sind nicht dumm - mit Aysmptoten hab ich es auch >nicht so... Aber es gibt in der Regel welche für gebrochen rationale >Funktionen. Evtl. hilft dir unsere Mathebank weiter: MBAsymptote
Ah, danke :)
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Hallo!
> >müsstest du nicht auch noch zwischen negativ gerade und
> negativ ungerade >unterscheiden? Ansonsten wüsste ich
> gerade nicht, wie man es noch anders >machen kann - ich
> schätze, du musst alle diese Fälle betrachten.
> Haben wir im Unterricht nicht gemacht, ich denke, es ist
> relativ irrelavant, da ja in beiden Fällen ein Bruch
> rauskommt bei negativen Zahlen, nur nicht genau der
> gleiche. bei den positiven Zahlen dagegen macht das ja
> einen Unterschied:
> [mm](-1)^3[/mm] = -1, [mm](-1)^2[/mm] = 1 [mm]1^2=1[/mm]
>
> denke ich zumindest
Aber [mm] (-1)^{-2}=1 [/mm] und [mm] (-1)^3=-1 [/mm] macht keinen Unterschied? Ich finde schon. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hi, Cecily,
bissl viel, was Du Dir da vorgenommen hast!
Aber ich will versuchen, Dir ein paar kleine Hilfen zu geben.
> 1) Monotonie:
> bei quadratischen Gleichungen, wie könnte man da die
> Monotonie beschreiben?
Du meinst quadratische FUNKTIONEN (Gleichungen wie z.B. [mm] x^{2}-2x=0 [/mm] haben kein Monotonieverhalten!)
> Könnte man sagen, links vom Scheitelpunkt ist der Graph
> fallend und rechts vom Scheitelpunkt steigend?
Bezüglich der Monotonie-Intervalle hat Dir Bastiane ja schon geholfen!
Nur noch dieses: Der Scheitel gehört natürlich zu BEIDEN Monotonie-Intervallen dazu!
> Bei den Potenzfunktionen (Wurzelfunktionen habe ich bei
> meiner Systematisierung als eine Möglichkeit der
> Poetnzfunktion, nur eben mit nicht ganzzahligem Exponent
> abgehandelt)? Muss ich dann zwischen allen Fällen
> unterscheiden, das wären bei mir:
>
> [mm]y=x^n[/mm]
>
> 1.n positiv gerade
Monotonie-Verhalten analog den quadratischen Funktionen.
> 2.n positiv ungerade
Auf ganz [mm] \IR [/mm] echt monoton zunehmend.
> 3.n negativ ganzzahlig
Aufpassen, da hier D = [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{0\}
[/mm]
Auch hier musst Du zwischen
"n ungerade" (echt mon. abnehmend in [mm] ]-\infty [/mm] ; 0 [ und in ]0 ; [mm] +\infty [/mm] [)
und
"n gerade" (echt mon. zunehmend in [mm] ]-\infty [/mm] ; 0 [ aber echt mon. abnehmend in ]0 ; [mm] +\infty [/mm] [)
unterscheiden!
> 4.n positiver Bruch
> 5.n negativer Bruch
Auf die Definitionsmengen achten! Gib' mal Deine Ergebnisse an!
>
> bei Logarithmusfunktionen habe ich erhlich gesagt nicht so
> viel Ahnung, haben diese dieselbe Monotonie wie die
> Exponentialfunktionen?
Ja! Und daher musst Du unterscheiden zwischen:
Basis a > 1
und
Basis 0 < a < 1
Für a > 1 sind die nämlich echt mon. zunehmend,
für 0 < a < 1 aber echt mon. abnehmend.
> bei den trigonometrischen Funktionen bin ich auch nicht so
> weiter gekommen. könnte man sagen, dass bei sinx der Graph
> bis zu 1/4 der Periode stiegt, dann bis 3/4 der Periode
> fällt und dann wieder steigt?
Wenn Du von "Periode" sprichst, meinst Du ja eigentlich D = [mm] \IR
[/mm]
Deiner Beschreibung des Monotonieverhaltens aber entnehme ich:
Definitionsmenge [0; [mm] 2*\pi] [/mm]
In letzterem Fall hast Du Recht (nur dass man bei dieser Definitionsmenge NICHT von einer Periode sprechen darf, da die Funktion hier ja nicht periodisch ist!)
>
> 2) Asymptote:
>
> für welche Funktionen gibt es die denn üerhaupt? für
> lineare und quadratische wohl nicht, denke ich, tzumindest
> kann ich da nicht sehen, dass y gegen irgendetwas geht, bei
> Potenzfunktionen auch nicht. Bei den trigonometrischen
> Funktionen wüsste ich auch nicht, wo eine sein sollte. Ich
> hoffe, meine Fragen scheinen nicht allzu dumm, aber das mit
> der Asymptote habe ich noch nie ganz begriffen.
>
Die Frage ist nicht dumm, denn man kann tatsächlich nicht so einfach sagen: Dieser Funktionstyp hat Asymptoten, jener nicht!
So treten Asymptoten vor allem bei gebrochen-rationalen Funktionen auf (aber auch da muss nicht jede Funktion eine haben). Exponentialfunktionen verknüpft mit anderen Funktionen können Asymptoten aufweisen - müssen aber nicht! Bei Logarithmusfunktionen ist es ähnlich.
Und die Tangensfunktion hat sogar unendlich viele Asymptoten!
Bei den von Dir oben angegebenen Funktionen haben zumindest die Potenzfunktionen mit negativem Exponenten mal jeweils eine senkrechte Asymptote (x=0 als Nenner-Nullstelle) und die x-Achse als waagrechte Asymptote.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Fr 04.11.2005 | | Autor: | Cecily |
erstmal vielen Dank für Thread-Finden, ich werde auf den anderen Beitrag auch gleich antworten :)
> Hi, Cecily,
>
> Du meinst quadratische FUNKTIONEN (Gleichungen wie z.B.
> [mm]x^{2}-2x=0[/mm] haben kein Monotonieverhalten!)
Ja, das war ein Versehen, hat mich ja Bastiane schon drauf hingewiesen ;)
> Nur noch dieses: Der Scheitel gehört natürlich zu BEIDEN
> Monotonie-Intervallen dazu!
achso...meinst du das ist wichtig, dass ich das in der Tabelle erwähne?
ach zu meinen ergebnissen:
das ist so dumm, das aus Word zu kopieren...aber vielleicht mach ichs noch
> Wenn Du von "Periode" sprichst, meinst Du ja eigentlich D =
> [mm]\IR[/mm]
> Deiner Beschreibung des Monotonieverhaltens aber entnehme
> ich:
> Definitionsmenge [0; [mm]2*\pi][/mm]
> In letzterem Fall hast Du Recht (nur dass man bei dieser
> Definitionsmenge NICHT von einer Periode sprechen darf, da
> die Funktion hier ja nicht periodisch ist!)
Hm, erhlich gesagt verstehe ich das nicht *schäm* Hast du eine andere Idee, wie ich die Monotonie beschrieben könnte? wie kann ich denn ausdrücken, dass sich das auf alles bezieht und nicht nur eine einzige Periode?
> Die Frage ist nicht dumm, denn man kann tatsächlich nicht
> so einfach sagen: Dieser Funktionstyp hat Asymptoten, jener
> nicht!
> So treten Asymptoten vor allem bei gebrochen-rationalen
> Funktionen auf (aber auch da muss nicht jede Funktion eine
> haben). Exponentialfunktionen verknüpft mit anderen
> Funktionen können Asymptoten aufweisen - müssen aber nicht!
> Bei Logarithmusfunktionen ist es ähnlich.
> Und die Tangensfunktion hat sogar unendlich viele
> Asymptoten!
>
> Bei den von Dir oben angegebenen Funktionen haben zumindest
> die Potenzfunktionen mit negativem Exponenten mal jeweils
> eine senkrechte Asymptote (x=0 als Nenner-Nullstelle) und
> die x-Achse als waagrechte Asymptote.
Was gibt es denn für Beispiele für eine Exponentialfunktion OHNE Asymptote? Ich konnte noch keine finden. die Tangensfunktion hat unendlich viele....wie könnte man die denn beschrieben?
ich hätte dann also Asymptoten für: Potenzfunktione, wenn Exponent negativ, Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion, tangensfunktion
passt das so?
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Hi, Cecily,
> erstmal vielen Dank für Thread-Finden, ich werde auf den
> anderen Beitrag auch gleich antworten :)
>
Alles klar!
> > Nur noch dieses: Der Scheitel gehört natürlich zu BEIDEN
> > Monotonie-Intervallen dazu!
> achso...meinst du das ist wichtig, dass ich das in der
> Tabelle erwähne?
Naja: Also wenn man die MAXIMALEN Monotonie-Intervalle angeben soll und die Ränder gehören dazu, muss man sie natürlich auch hinschreiben!
>
> > Die Frage ist nicht dumm, denn man kann tatsächlich nicht
> > so einfach sagen: Dieser Funktionstyp hat Asymptoten, jener
> > nicht!
> > So treten Asymptoten vor allem bei gebrochen-rationalen
> > Funktionen auf (aber auch da muss nicht jede Funktion eine
> > haben). Exponentialfunktionen verknüpft mit anderen
> > Funktionen können Asymptoten aufweisen - müssen aber nicht!
> > Bei Logarithmusfunktionen ist es ähnlich.
> > Und die Tangensfunktion hat sogar unendlich viele
> > Asymptoten!
> >
> > Bei den von Dir oben angegebenen Funktionen haben zumindest
> > die Potenzfunktionen mit negativem Exponenten mal jeweils
> > eine senkrechte Asymptote (x=0 als Nenner-Nullstelle) und
> > die x-Achse als waagrechte Asymptote.
>
>
> Was gibt es denn für Beispiele für eine Exponentialfunktion
> OHNE Asymptote?
Na gut: Konzentrieren wir uns auf "reine" Exponentialfunktionen (d.h. ohne Verknüpfungen mit anderen Funktionen).
Dann hast Du Recht!
Aber pass auf: [mm] y=a^{x} [/mm] mit a > 1 hat die x-Achse für x [mm] \to -\infty [/mm] als Asymptote,
[mm] y=a^{x} [/mm] mit 0 < a < 1 hat die x-Achse für x [mm] \to +\infty [/mm] als Asymptote.
> ich hätte dann also Asymptoten für: Potenzfunktionen, wenn
> Exponent negativ, Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion,
> tangensfunktion
>
> passt das so?
Fällt mir im Moment nix weiter ein!
mfG!
Zwerglein
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