System unendlich vl. Vektoren < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:35 Mo 22.10.2007 | | Autor: | Phileas |
| Aufgabe | | Zeige: Ein System von unendlich vielen Vektoren ist genau dann linear unabhängig, wenn jedes endliche Teilsystem linear unabhängig ist. |
Hallo erst mal  ,
also ich habe bei dieser Aufgabe das Problem, dass ich keine Ahnung habe wie ich da rangehen soll.
Ich vermute ich muss als erstes die Axiome U1 und U2 irgendwie verwenden um zu zeigen dass der endliche Raum überhaupt ein Unterraum von dem Unendlichen ist?
Danach muss ich denke ich irgendwie die Definition der linearen Unabhängigkeit verwenden, aber die gilt bei uns nur für endlich viele Vektoren.
Es ist ein bissl kurzfristig, aber ein, zwei Tipps um loslegen zu können wären sehr hilfreich, danke schonmal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Wie sieht die Definition aus? N Vektoren [mm]x_1, x_2, ..., x_N[/mm] sind linear unabhängig, wenn die Gleichung
[mm]\summe_{i=1}^{N}a_i x_i =0 [/mm]
nur trivial lösbar ist.
Für ein unendliches System ersetzen wir N durch [mm] \infty[/mm].
Du musst jetzt beide Richtungen der Äquivalenz zeigen, wobei der Schluss vom unendlichen ins endliche (Teil-)System einfach ist (Beweis durch Widerspruch).
Für die andere Richtung würde ich auch einen Beweis durch Widerspruch versuchen. Also Annahme: alle endlichen sind l.u. und dennoch ist das unendliche nicht l.u. - wenn du folgern kannst, dass dann mindest ein endliches Teilsystem nicht l.u. ist, hast du deinen Widerspruch.
Alle Klarheiten beseitigt? ;)
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 15:01 Mo 22.10.2007 | | Autor: | angela.h.b. |
> Wie sieht die Definition aus? N Vektoren [mm]x_1, x_2, ..., x_N[/mm]
> sind linear unabhängig, wenn die Gleichung
> [mm]\summe_{i=1}^{N}a_i x_i =0[/mm]
> nur trivial lösbar ist.
>
> Für ein unendliches System ersetzen wir N durch [mm]\infty[/mm].
Hallo,
an dieser Stelle möchte ich allergrößte Bedenken anmelden: es gibt in Vektorräumen nur endliche Linearkombinationen, eine Linearkombination ist immer endlich.
Gruß v. Angela
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> Zeige: Ein System von unendlich vielen Vektoren ist genau
> dann linear unabhängig, wenn jedes endliche Teilsystem
> linear unabhängig ist.
> also ich habe bei dieser Aufgabe das Problem, dass ich
> keine Ahnung habe wie ich da rangehen soll.
> Ich vermute ich muss als erstes die Axiome U1 und U2
> irgendwie verwenden um zu zeigen dass der endliche Raum
> überhaupt ein Unterraum von dem Unendlichen ist?
> Danach muss ich denke ich irgendwie die Definition der
> linearen Unabhängigkeit verwenden, aber die gilt bei uns
> nur für endlich viele Vektoren.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Um Dir helfen zu können, wäre es wichtig zu wissen, wie Ihr die lineare Unabhängigkeit definiert habt - mit allem Drumherum und Pipapo. Oder anders: vor allem mit dem Drumherum und Pipapo.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:44 Mo 22.10.2007 | | Autor: | Phileas |
wir haben gesagt, dass [mm]v=\summe_{k=1}^{n}\lambda_{k} v_{jk}[/mm] den Raum darstellt und dass lineare Unabhängigkeit herrscht wenn die Gleichung
[mm]\summe_{k=1}^{n}\lambda_{k}v_{jk}=0 [/mm] nur dann gilt, wenn alle [mm]\lambda_{k}=0[/mm] sind.
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> wir haben gesagt, dass [mm]v=\summe_{k=1}^{n}\lambda_{k} v_{jk}[/mm]
> den Raum darstellt und dass lineare Unabhängigkeit herrscht
> wenn die Gleichung
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\lambda_{k}v_{jk}=0[/mm] nur dann gilt, wenn
> alle [mm]\lambda_{k}=0[/mm] sind.
Hallo,
ich hatte nach der (nach Eurer) genauen Definition der linearen Unabhängigkeit gefragt.
Das, was Du oben bringst, ist eher eine Art Nacherzählung.
Deine Aufgabe ist so, daß es auf die genaue Definition ankommt.
Mit "Pipapo" meinte ich sämtliche Voraussetzungen. "Es seien...", "dann existiert" und so etwas.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Di 23.10.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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