System mit einem Eigenwert < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe ein DGL-System mit [mm] A=\pmat{ a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 } [/mm] nur einem EW [mm] \lambda \in \IR A\not=\pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \lambda } [/mm] und [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] sei ein Eigenvektor.
Jetzt soll ich zeigen, dass wenn c,d bel. Lösungen des GS
[mm] (a_{1}-\lambda)c+b_{1}d=a
[/mm]
[mm] c_{1}c+(d_{1}-\lambda)d=b
[/mm]
sind, folgendes gilt:
[mm] \vec{y}(x)=\vektor{y_{1}(x) \\ y_{2}(x)}=e^{\lambda x}\vektor{ax+b \\ bx+d}
[/mm]
Jetzt versuche ich schon seit Stunden auf eine Lösung zu kommen, aber weiß nicht wirklich, wie ich anfangen muss. Ich habe schon alles mögliche in die letzte Gleichung eingesetzt, aber weiß nicht mal so richtig, wo das x in dem letzten Vektor herkommt.
Kann mir jemand einen Tip geben?
Gruß
LordPippin
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Hallo LordPippin,
> Hallo,
> ich habe ein DGL-System mit [mm]A=\pmat{ a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 }[/mm]
> nur einem EW [mm]\lambda \in \IR A\not=\pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \lambda }[/mm]
> und [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] sei ein Eigenvektor.
>
> Jetzt soll ich zeigen, dass wenn c,d bel. Lösungen des GS
> [mm](a_{1}-\lambda)c+b_{1}d=a[/mm]
> [mm]c_{1}c+(d_{1}-\lambda)d=b[/mm]
> sind, folgendes gilt:
> [mm]\vec{y}(x)=\vektor{y_{1}(x) \\ y_{2}(x)}=e^{\lambda x}\vektor{ax+b \\ bx+d}[/mm]
>
> Jetzt versuche ich schon seit Stunden auf eine Lösung zu
> kommen, aber weiß nicht wirklich, wie ich anfangen muss.
> Ich habe schon alles mögliche in die letzte Gleichung
> eingesetzt, aber weiß nicht mal so richtig, wo das x in
> dem letzten Vektor herkommt.
Da es nur eine EW gibt muß dieser doppelt vorhanden sein.
Eine Lösung ist mit dem genannten Eigenvektor bekannt:
[mm]\pmat{a \\ b}e^{\lambda x}[/mm]
Für die zweite linear unabhängige Lösung macht man jetzt
den Ansatz:
[mm]e^{\lambda *x}*\pmat{\alpha_{1} *x + \beta_{1} \\ \alpha_{2}*x+\beta_{2}}[/mm]
Diesen setzt Du jetzt in das DGL-System ein, und erhältst:
[mm]\pmat{ a_1-\lambda & b_1 \\ c_1 & d_1-\lambda }\pmat{\alpha_{1} \\ \alpha_{2}}=\pmat{0 \\ 0}[/mm]
[mm]\pmat{ a_1-\lambda & b_1 \\ c_1 & d_1-\lambda }\pmat{\beta_{1} \\ \beta_{2}}=\pmat{\alpha_{1} \\ \alpha_{2}}[/mm]
Damit ist [mm]\pmat{\alpha_{1} \\ \alpha_{2}}[/mm] ein Eigenvektor,
daher kann gesetzt werden:
[mm]\pmat{\alpha_{1} \\ \alpha_{2}}=\pmat{a \\ b}[/mm]
> Kann mir jemand einen Tip geben?
Führe zunächst den Gauß-Algorithmus bei dem Gleichungsssstem durch:
[mm](a_{1}-\lambda)c+b_{1}d=a[/mm]
[mm]c_{1}c+(d_{1}-\lambda)d=b[/mm]
>
> Gruß
>
> LordPippin
Gruss
MathePower
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
ich verstehe das immer noch nicht wirklich.
Das GS soll ich wohl nach c und d auflösen. Wenn ich es nach c und d auflöse bekomme ich Riesenterme wo ich dann nicht weiß, wo ich ich die einsetzen soll.
> [mm]e^{\lambda *x}*\pmat{\alpha_{1} *x + \beta_{1} \\ \alpha_{2}*x+\beta_{2}}[/mm]
>
> Diesen setzt Du jetzt in das DGL-System ein, und
> erhältst:
Dieser Schritt ist mir auch nicht wirklich klar.
>
> [mm]\pmat{ a_1-\lambda & b_1 \\ c_1 & d_1-\lambda }\pmat{\alpha_{1} \\ \alpha_{2}}=\pmat{0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ a_1-\lambda & b_1 \\ c_1 & d_1-\lambda }\pmat{\beta_{1} \\ \beta_{2}}=\pmat{\alpha_{1} \\ \alpha_{2}}[/mm]
Kommt der untere daher, dass ich bei den beiden Gleichungen als Produkt zweier Matrizen schreibe?
>
> Damit ist [mm]\pmat{\alpha_{1} \\ \alpha_{2}}[/mm] ein Eigenvektor,
> daher kann gesetzt werden:
>
> [mm]\pmat{\alpha_{1} \\ \alpha_{2}}=\pmat{a \\ b}[/mm]
Gruß
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Hallo LordPippin,
> Hallo MathePower,
> ich verstehe das immer noch nicht wirklich.
> Das GS soll ich wohl nach c und d auflösen. Wenn ich es
> nach c und d auflöse bekomme ich Riesenterme wo ich dann
> nicht weiß, wo ich ich die einsetzen soll.
>
> > [mm]e^{\lambda *x}*\pmat{\alpha_{1} *x + \beta_{1} \\ \alpha_{2}*x+\beta_{2}}[/mm]
>
> >
> > Diesen setzt Du jetzt in das DGL-System ein, und
> > erhältst:
>
> Dieser Schritt ist mir auch nicht wirklich klar.
Nach Einsetzen in das DGL-System
[mm]y'=\pmat{a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & d_{1}}y[/mm]
steht zunächst da:
[mm]\left( \ e^{\lambda *x}*\pmat{\alpha_{1} *x + \beta_{1} \\ \alpha_{2}*x+\beta_{2}} \ \right)'=\pmat{a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & d_{1}}e^{\lambda *x}*\pmat{\alpha_{1} *x + \beta_{1} \\ \alpha_{2}*x+\beta_{2}}y[/mm]
Ausgeschrieben ergibt das:
[mm]e^{\lambda*x}*\left( \pmat{\alpha_{1} \\ \alpha_{2}} + \lambda* \pmat{\alpha_{1} *x + \beta_{1} \\ \alpha_{2}*x+\beta_{2}} \ \right)=\pmat{a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & d_{1}}e^{\lambda *x}*\pmat{\alpha_{1} *x + \beta_{1} \\ \alpha_{2}*x+\beta_{2}}[/mm]
Durch Koeffizientenvergleich erhält man schliesslich:
[mm]\pmat{\alpha_{1} \\ \alpha_{2}} + \lambda* \pmat{ \beta_{1} \\ \beta_{2}}=\pmat{a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & d_{1}}*\pmat{ \beta_{1} \\ \beta_{2}}[/mm]
[mm] \lambda* \pmat{\alpha_{1} \\ \alpha_{2} }=\pmat{a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & d_{1}}*\pmat{\alpha_{1} \\ \alpha_{2}}[/mm]
> >
> > [mm]\pmat{ a_1-\lambda & b_1 \\ c_1 & d_1-\lambda }\pmat{\alpha_{1} \\ \alpha_{2}}=\pmat{0 \\ 0}[/mm]
>
> >
> > [mm]\pmat{ a_1-\lambda & b_1 \\ c_1 & d_1-\lambda }\pmat{\beta_{1} \\ \beta_{2}}=\pmat{\alpha_{1} \\ \alpha_{2}}[/mm]
Daraus ergeben sich diese beiden Gleichungen.
>
> Kommt der untere daher, dass ich bei den beiden Gleichungen
> als Produkt zweier Matrizen schreibe?
> >
> > Damit ist [mm]\pmat{\alpha_{1} \\ \alpha_{2}}[/mm] ein Eigenvektor,
> > daher kann gesetzt werden:
> >
> > [mm]\pmat{\alpha_{1} \\ \alpha_{2}}=\pmat{a \\ b}[/mm]
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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