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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 Sa 25.05.2013 | | Autor: | Rated-R |
| Aufgabe | Gegeben ist das System [mm] k_{n+1}=M*k_n, [/mm] mit [mm] M=\pmat{ -4 & 2 &-1 \\ -4 & 3 &0\\14 & -5 & 5}
[/mm]
A) Berechnen Sie eine Funktion für [mm] k_n, [/mm] die nur von einen Startwert [mm] k_0 [/mm] und n [mm] \in \IN [/mm] abhängt |
Hallo,
irgendwie stecke ich bei dieser Aufgabe fest.
Zunächst dachte ich mittels der JordanForm das lösen zu können
[mm] J:=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2}
[/mm]
und jetzt nehm ich einen Startvektor [mm] k_0:=\vektor{x \\ y\\z}
[/mm]
[mm] J.k_0=\vektor{x+y \\ y\\2*z} [/mm] => für [mm] k_n=\vektor{x+n*y \\ y\\2^n*z}
[/mm]
nun ist J ja nur ähnlich zu M, ich dachte mir das wenn ich hier [mm] M.k_n [/mm] mache ,ich eine Formel für [mm] k_n+1 [/mm] bekomme in abhängigkeit von n, der Computer sagt mir es stimmt nicht. Wie muss ich weiter vorgehen?
Danke.
gruß tom
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 Sa 25.05.2013 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht versteh ich die Aufgabe falsch, aber es ist
[mm] k_n=M^n*k_0
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Sa 25.05.2013 | | Autor: | Rated-R |
Vielen Dank für deine Antwort!
So hab ichs auch gedacht, nur darf [mm] s_n [/mm] nicht von M abhängen, [mm] M^n [/mm] kann man nicht so einfach berechnen wärend man bei der JordanForm doch sagen kann das für [mm] J^n [/mm] gilt, Diagonalelemente [mm] a_{ii}^n [/mm] und neben diagonalelemente [mm] a_{ij}*n.
[/mm]
Ich hab mir schon gedacht [mm] M^n=S*J^n*S^{-1}, [/mm] soll ich dann erst [mm] S^{-1}*k_0 [/mm] berechnen? und dann mal [mm] J^n [/mm] nehmen bzw. mal S?
gruß Tom
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Sa 25.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für deine Antwort!
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> So hab ichs auch gedacht, nur darf [mm]s_n[/mm] nicht von M
> abhängen,
Was ist [mm] s_n [/mm] ? [mm] s_n=k_n [/mm] ?
Die Folge [mm] (k_n) [/mm] hängt von M ab ! Anderes M, anderes [mm] (k_n).
[/mm]
> [mm]M^n[/mm] kann man nicht so einfach berechnen
Das stimmt.
> wärend
> man bei der JordanForm doch sagen kann das für [mm]J^n[/mm] gilt,
> Diagonalelemente [mm]a_{ii}^n[/mm] und neben diagonalelemente
> [mm]a_{ij}*n.[/mm]
Was meinst Du genau ?
>
> Ich hab mir schon gedacht [mm]M^n=S*J^n*S^{-1},[/mm] soll ich dann
> erst [mm]S^{-1}*k_0[/mm] berechnen? und dann mal [mm]J^n[/mm] nehmen bzw. mal
Ja
FRED
> S?
>
> gruß Tom
>
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:19 Sa 25.05.2013 | | Autor: | Rated-R |
> > Vielen Dank für deine Antwort!
> >
> > So hab ichs auch gedacht, nur darf [mm]s_n[/mm] nicht von M
> > abhängen,
>
>
> Was ist [mm]s_n[/mm] ? [mm]s_n=k_n[/mm] ?
Ja ist [mm] k_n, [/mm] mein Fehler!
>
> Die Folge [mm](k_n)[/mm] hängt von M ab ! Anderes M, anderes
> [mm](k_n).[/mm]
>
>
> > [mm]M^n[/mm] kann man nicht so einfach berechnen
>
> Das stimmt.
>
>
> > wärend
> > man bei der JordanForm doch sagen kann das für [mm]J^n[/mm] gilt,
> > Diagonalelemente [mm]a_{ii}^n[/mm] und neben diagonalelemente
> > [mm]a_{ij}*n.[/mm]
>
> Was meinst Du genau ?
>
>
Das die Potenz einer JordanMatrix leicht zu berechnen ist, [mm] J:=\pmat{ 2 & 1\\ 0 & 2 } J^n:=\pmat{ 2^n & n\\ 0 & 2^n }
[/mm]
> >
> > Ich hab mir schon gedacht [mm]M^n=S*J^n*S^{-1},[/mm] soll ich dann
> > erst [mm]S^{-1}*k_0[/mm] berechnen? und dann mal [mm]J^n[/mm] nehmen bzw. mal
>
> Ja
Okay, ich dachte nur dass es mit wesentlich weniger Rechenaufwand geht.
Hier muss ja ein Vektor dreimal mit Matrizen multipliziert werden, die "funktion" die dabei rauskommt sieht auch nicht einfach aus. Aber es gibt keinen einfacheren weg?
gruß tom
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> FRED
> > S?
> >
> > gruß Tom
> >
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mo 27.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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