Symmetrisierung von Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Mo 09.05.2011 | | Autor: | Slint |
| Aufgabe | Berechnen Sie:
sym(A), skw(A), skw(sym(A)) und sym(skw(A)) für die Matrix [mm] $A=\pmat{ 2 & 0 & 1\\ 0 & 3 & 2 \\ -1 & 4 & 2 }$ [/mm] |
Leider habe ich gefehlt als wir das Thema behandelt haben. Da ich nicht genau wusste was skw heißt, habe ich gegooglt und heraus gefunden, dass es die englische Bezeichnung für eine antisymmetrische Matrix ist, sym steht logischerweise für symmetrische Matrix.
Habe mir den Bronstein geschnappt und gelesen, das jede quadratische Matrix in eine Summe aus symmetrischer Matrix und antisymmetrischer Matrix überführt werden kann, und zwar nach diesem Rezept:
[mm] $A=A_s+A_{as}\;\;\;mit\;\;\;A_s=\frac{1}{2}(A+A^T), A_{as}=\frac{1}{2}(A-A^T)$
[/mm]
Bin wie eben beschrieben vorgegangen und habe folgende Ergbnisse:
[mm] $sym(A)=A_s=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 3 & 2 }$
[/mm]
[mm] $skw(A)=A_{as}=\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 }$
[/mm]
[mm] $skw(sym(A))=0_{3,3}$
[/mm]
[mm] $sym(skw(A))=0_{3,3}$
[/mm]
Meine Frage ist, ob ich die Aufgabe korrekt gelöst habe? Oder habe ich die Aufgabenstellung falsch verstanden?
Im weiteren möchte ich noch beweisen, das die Symmetrisierung einer Matrix eine lineare Operation ist. Kann mir da jemand einen Tipp geben?
Vielen Dank im Voraus und viele Grüße,
slint
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Mo 09.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
die Lösung ist richtig.
> Im weiteren möchte ich noch beweisen, das die Symmetrisierung einer Matrix eine lineare Operation ist. Kann mir da jemand einen Tipp geben?
Du suchst Dir die Definition einer linearen Operation raus und setzt da [mm] $\frac12(A+A^t)$ [/mm] ein. Wenn Du an irgendwas spezifisch hängst, dann kannst Du ja danach fragen.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Mo 09.05.2011 | | Autor: | Slint |
Danke für den Tipp.
Habe im Bronstein folgende Bedingung gefunden:
$a(u+v)=au+av$
Wenn ich das explizit am Beispiel der Matrix A aus der Aufgabenstellung mache sieht das wie folgt aus:
[mm] $\frac12(A+A^T)=\frac12A+\frac12A^T$
[/mm]
[mm] $\longrightarrow \pmat{ 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 3 & 2 }=\pmat{ 1 & 0 & 0,5 \\ 0 & 1,5 & 1 \\ -0,5 & 2 & 1} [/mm] + [mm] \pmat{ 1 & 0 & -0,5 \\ 0 & 1,5 & 2 \\ 0,5 & 1 & 1 } [/mm] $
Diese Bedingung wird ja offensichtlich erfüllt. Reicht das als Beweis?
Gruß,
slint
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Mo 09.05.2011 | | Autor: | Blech |
> Habe im Bronstein folgende Bedingung gefunden:
> a(u+v)=au+av
Das stand sicher nicht so im Bronstein. Und Ihr werdet doch sicher irgendwo definiert haben, was eine lineare Abbildung ist.
Ich zitier mal Wikipedia.
> Seien und Vektorräume über einem gemeinsamen Grundkörper .
> Eine Abbildung heißt lineare Abbildung, wenn für alle und die folgenden Bedingungen gelten:
>
In dem Fall gilt f(x)=sym(x). Was ist V, W und K?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Mo 09.05.2011 | | Autor: | Slint |
Leider weiß ich gerade nicht so recht weiter da ich Verständnisprobleme habe, aber der Grundkörper $K$ müsste in diesem Fall die reellen Zahlen sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:48 Mo 09.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Leider weiß ich gerade nicht so recht weiter da ich Verständnisprobleme habe, aber der Grundkörper K müsste in diesem Fall die reellen Zahlen sein.
Jo.
V, was steckst Du in sym rein? sym(A), A ist ne 3x3 Matrix, [mm] $A\in\IR^{3\times 3}$, [/mm] also [mm] $V=\IR^{3\times 3}$.
[/mm]
Und was kommt bei sym(A) raus?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:59 Di 10.05.2011 | | Autor: | Slint |
Hallo,
also heraus bekomme ich dann [mm] $W=\IR^{3\times3}$ [/mm] oder? Und weil sich nach der Operation $sym$ am Format der Matrix nichts ändert ist es eine lineare Operation?
Vielen Dank für die Hilfe,
slint
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 Di 10.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> also heraus bekomme ich dann [mm]W=\IR^{3\times3}[/mm] oder?
Ja
> Und
> weil sich nach der Operation [mm]sym[/mm] am Format der Matrix
> nichts ändert ist es eine lineare Operation?
Nein. Wir haben die Abb. $f(A):= [mm] \frac12(A+A^t) [/mm] $
Zeigen mußt Du:
f(A+B)=f(A)+f(B) und f(sA)=sf(A) für alle A,B [mm] \in [/mm] V und alle reellen s
FRED
>
> Vielen Dank für die Hilfe,
> slint
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Di 10.05.2011 | | Autor: | Slint |
Dann versuche ich es mal:
1. Bedigung: $f(A)+f(B)=f(A+B)$
[mm] $\frac12(A+A^T)+\frac12(B+B^T)=\frac12(A+B+A^T+B^T)$
[/mm]
[mm] $\frac12(A+A^T)+\frac12(B+B^T)=\frac12(A+A^T)+\frac12(B+B^T)$
[/mm]
2. Bedingung: $sf(A)=f(cA)$
[mm] $\frac12(A+A^T)s=\frac12(A \cdot [/mm] s [mm] +A^T \cdot [/mm] s)$
[mm] $\frac12(A+A^T)s=\frac12(A+A^T)s$
[/mm]
Kann man das so stehen lassen? Danke an alle!
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:41 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Slint |
Könnte bitte noch jemand Anmerkungen zu meiner Rechnung machen, würde mir sehr helfen :)
Danke,
Slint
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] \frac12(A+A^T)+\frac12(B+B^T)=\frac12(A+A^T)+\frac12(B+B^T) [/mm] $
Kürzer könnte man hier auch 1=1 schreiben. Was soll mir diese Gleichung sagen? =)
Was ist denn f(A+B)?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Slint |
Hallo,
1=1 sagt doch aus, das eine Addition von zwei einzeln symmetrisierten Matrizen (A,B) gleich der Symmetrisierung der Summe von den zwei Matrizen (A,B) ist. Und das ist ja die Bedinung $f(A)+f(B)=f(A+B)$, man könnte doch auch $sym(A)+sym(B)=sym(A+B)$ schreiben oder? =)
Gruß,
Slint
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Blech |
EDIT: ARgh, jetzt seh ich was Du meinst. Könntest Du das nächste Mal bitte ein [mm] $\gdw$ [/mm] verwenden, ich dachte, Du führst eine Gleichungskette weiter. Und Du solltest zumindest noch [mm] $(A+B)^t [/mm] = [mm] A^t+B^t$ [/mm] als Schritt einführen. =)
EDIT2: Und nochmal zum urspr. was hier stand:
[mm] $sym(A)+sym(B)=\ldots=sym(A+B)$
[/mm]
ist die bessere Lösung und Du solltest Deine Lösung noch auf die Form bringen.
Das mit Gleichungsumformungen ist häufig für die Rechnung leichter (ich fang auch meist so an), aber Gleichungsumformungen sind tricky sobald die Rechnungen nichtmehr völlig trivial sind. Du übersiehst so leicht, daß eben nicht mehr [mm] $\gdw$ [/mm] gilt (einfachstes Bsp: Wurzeln). Gleichungsketten sind robuster und weniger fehlerträchtig.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Slint |
Meine erste Frage, auch wenn meine Rechnung nicht ganz so schön und zweckmäßig ist, sie stimmt doch erstmal oder? =)
Könntest du mir einmal zeigen, wie man es über Gleichungsketten besser machen könnte? Weiß nichts so richtig wie ich von $sym(A)+sym(B)=...=sym(A+B)$ komme ohne die eigentliche Gleichung der Symmetrisierung einzusetzen. Man kommt ja durch einfaches ausklammern auf $sym(A)+sym(B)=sym(A+B)$
Danke,
Slint
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Meine erste Frage, auch wenn meine Rechnung nicht ganz so schön und zweckmäßig ist, sie stimmt doch erstmal oder? =)
Jein. Jetzt nachdem ich nicht mehr auf dem Schlauch stehe, glaub ich Dir absolut, daß Du das richtige meinst. Aber ich würd's trotzdem anstreichen, weil bei einer so einfachen Rechnung [mm] $A^t+B^t=(A+B)^t$ [/mm] ein wichtiger Schritt ist.
Das ist ein Problem mit den Beweisen am Anfang des Studiums. Sobald sie aufhören so verflixt trivial zu sein, wird das Hinschreiben leichter. =)
> Weiß nichts so richtig wie ich von sym(A)+sym(B)=...=sym(A+B) komme ohne die eigentliche Gleichung der Symmetrisierung einzusetzen.
Welche "eigentliche Gleichung"? Die Definition sollst Du ja einsetzen. Möglichst oft und deutlich. =)
$sym(A)+sym(B)= [mm] \frac12(A+A^T)\ [/mm] \ +\ \ [mm] \frac12(B+B^T)=\frac12(A+B+A^T+B^T) [/mm] = [mm] \frac [/mm] 12 [mm] \left( (A+B)\ +\ (A+B)^t\right) [/mm] = sym(A+B) $
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:54 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Slint |
So soll das also aussehen, besten Dank für deine Geduld und die viele Mühe!
Deine Variante sieht dann doch übersichtlicher aus, macht Sinn =)
Viele Grüße,
Slint
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