Symmetrische Polynome < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:34 Di 24.06.2008 | | Autor: | mathefuchs06 |
| Aufgabe | Hallo,
ich habe die Polynome
[mm] s_1(x)=(x-\alpha_1)\cdot\ldots\cdot(x-\alpha_n)
[/mm]
[mm] s_2(x)=(x-\alpha_1-\alpha_2) \cdot \ldots \cdot (x-\alpha_{n-1}-\alpha_n)
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] s_n(x)=x-\alpha_1-\ldots-\alpha_n
[/mm]
gegeben, also quasi alle Polynome, mit sämtlichen möglichen Summen der [mm] \alpha_i \in \IC [/mm] als Nullstellen.
Ich muss nun zeigen, dass das Polynom
[mm] s_{produkt}(x)=s_1 \cdot \ldots \cdot s_n
[/mm]
rationale Koeffizienten hat??? |
Ich weiß, dass es symmetrisch in allen Summen der [mm] \alpha_i [/mm] ist, nennen wir diese Summen mal [mm] \beta_j. [/mm] Ich weiß, dass der Hauptsatz über symmetrische Polynome besagt, dass ich [mm] s_{produkt}(x) [/mm] in den elementarsymmetrischen Funktionen in den [mm] \beta_j [/mm] ausdrücken kann und dass die Koeffizienten dabei wenn sie rational waren auch rational bleiben, doch ich bin mir nicht sicher ob und warum die Koeffizienten von [mm] s_{produkt}(x) [/mm] rational sind??
Ich hoffe mir kann jemand helfen. Vielen Dank schonmal...
Lg Mathefuchs
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:47 Di 24.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> ich habe die Polynome
> [mm]s_1(x)=(x-\alpha_1)\cdot\ldots\cdot(x-\alpha_n)[/mm]
> [mm]s_2(x)=(x-\alpha_1-\alpha_2) \cdot \ldots \cdot (x-\alpha_{n-1}-\alpha_n)[/mm]
>
> [mm]\vdots[/mm]
> [mm]s_n(x)=x-\alpha_1-\ldots-\alpha_n[/mm]
>
> gegeben, also quasi alle Polynome, mit sämtlichen möglichen
> Summen der [mm]\alpha_i \in \IC[/mm] als Nullstellen.
>
> Ich muss nun zeigen, dass das Polynom
> [mm]s_{produkt}(x)=s_1 \cdot \ldots \cdot s_n[/mm]
> rationale
> Koeffizienten hat???
Wenn [mm] $\alpha_1 [/mm] = e = [mm] \exp(1)$ [/mm] ist und [mm] $\alpha_2 [/mm] = [mm] \dots [/mm] = [mm] \alpha_n [/mm] = 1$ ist, dann ist der konstante Term vom Produkt doch ein Polynom mit rationalen Koeffizienten in $e$ (sozusagen als Unbestimmte gesehen) von Grad $> 0$, also insbesondere ist der konstante Term nicht rational?
Insbesondere im Fall $n = 1$ ist ja [mm] $s_1(x) [/mm] = x - [mm] \alpha_1$ [/mm] gleich dem Produkt, und das hat insbesondere nur dann rationale Koeffizienten, wenn [mm] $\alpha_1$ [/mm] schon rational ist!
LG Felix
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> Wenn [mm]\alpha_1 = e = \exp(1)[/mm] ist und [mm]\alpha_2 = \dots = \alpha_n = 1[/mm]
> ist, dann ist der konstante Term vom Produkt doch ein
> Polynom mit rationalen Koeffizienten in [mm]e[/mm] (sozusagen als
> Unbestimmte gesehen) von Grad [mm]> 0[/mm], also insbesondere ist
> der konstante Term nicht rational?
>
> Insbesondere im Fall [mm]n = 1[/mm] ist ja [mm]s_1(x) = x - \alpha_1[/mm]
> gleich dem Produkt, und das hat insbesondere nur dann
> rationale Koeffizienten, wenn [mm]\alpha_1[/mm] schon rational ist!
>
> LG Felix
Hallo, danke schon mal, so hab ich mir dass auch gedacht und bin deshalb ins grübeln gekommen. Doch irgendwie muss ich auf ein Polynom mit rationalen Koeffizienten kommen [mm] f(x)=a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] x+ [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_N x^N [/mm] wobei N die Anzahl der [mm] \beta_j, [/mm] also der Summen der [mm] \alpha_i [/mm] ist.
Nun sind [mm] a_0,\ldots,a_N [/mm] symmetrische Funktionen in den [mm] \beta_j [/mm] und irgendwie muss dann daraus folgen, dass diese rational sind...
Ich weiß auch nicht wie ichs anders formulieren soll und weiß auch nicht wie ich darauf komme...?!
Eventuell kann mit jemand weiterhelfen?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Mi 25.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > Wenn [mm]\alpha_1 = e = \exp(1)[/mm] ist und [mm]\alpha_2 = \dots = \alpha_n = 1[/mm]
> > ist, dann ist der konstante Term vom Produkt doch ein
> > Polynom mit rationalen Koeffizienten in [mm]e[/mm] (sozusagen als
> > Unbestimmte gesehen) von Grad [mm]> 0[/mm], also insbesondere ist
> > der konstante Term nicht rational?
> >
> > Insbesondere im Fall [mm]n = 1[/mm] ist ja [mm]s_1(x) = x - \alpha_1[/mm]
> > gleich dem Produkt, und das hat insbesondere nur dann
> > rationale Koeffizienten, wenn [mm]\alpha_1[/mm] schon rational ist!
> >
> > LG Felix
>
> Hallo, danke schon mal, so hab ich mir dass auch gedacht
> und bin deshalb ins grübeln gekommen. Doch irgendwie muss
> ich auf ein Polynom mit rationalen Koeffizienten kommen
> [mm]f(x)=a_0[/mm] + [mm]a_1[/mm] x+ [mm]\ldots[/mm] + [mm]a_N x^N[/mm] wobei N die Anzahl der
Hier ist $f = [mm] s_{produkt}$?
[/mm]
> [mm]\beta_j,[/mm] also der Summen der [mm]\alpha_i[/mm] ist.
>
> Nun sind [mm]a_0,\ldots,a_N[/mm] symmetrische Funktionen in den
> [mm]\beta_j[/mm] und irgendwie muss dann daraus folgen, dass diese
> rational sind...
Als rationale Funktionen in den Unbestimmten [mm] $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ [/mm] sind die Koeffizienten alle rational. Aber das sieht man ja schon an der Konstruktion.
> Ich weiß auch nicht wie ichs anders formulieren soll und
> weiß auch nicht wie ich darauf komme...?!
Kann es sein, dass die [mm] $a_i$ [/mm] paarweise verschieden sind und die Menge [mm] $\{ \alpha_1, \dots, \alpha_n \}$ [/mm] unter allen Automorphismen von [mm] $\IC$ [/mm] abgeschlossen ist? Das ist z.B. der Fall wenn alle [mm] $\alpha_i$ [/mm] in einer Galois-Erweiterung von [mm] $\IQ$ [/mm] liegen und gerade die Menge der Konjugierten eines Elementes sind.
In dem Fall wuerde folgenden, dass die [mm] $a_i \in \IQ$ [/mm] sind.
LG Felix
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