Symmetrische Matrizen - Sätze < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Entscheiden sie ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. Falls falsch, formulieren Sie den Satz entsprechend um.
1.) die Matrix A [mm] \in \IR^{n x n} [/mm] ist symmetrisch genau dann, wenn sie diagonalisierbar ist.
2.) Die Matrix A [mm] \in \IR^{n x n} [/mm] ist symmetrisch genau dann, wenn ihre Eigenwerte reell sind. |
Hallo,
ich habe wieder mal eine Frage an euch und hoffe ihr könnt mir dabei Helfen. Heute geht es um die letzten Unklarheiten die ich selber noch nicht alleine lösen konnte.
zu 1.) Jede diagonalisierbare Matrix ist symmetrisch. Wäre dies nicht eine bessere Formulierung ?
2.) diesen Satz würde ich eher in: "Die Matrix A [mm] \in \IR^{n x n} [/mm] ist symmetrisch sofern unteranderem, ihre Eigenwerte reell sind." - da die Alte Formulierung ja davon ausgeht dass eine Matrix mit reellen Eigenwerten automatisch symmetrisch ist, und keine anderen Kriterien mitspielen.
oder habe ich es falsch verstanden und stimmen beide Aussagen?
-Diagonalisierbare Matrizen sind ja symmetrisch
-Symmetrische Matrizen haben in [mm] \IR [/mm] ja reelle Eigenwerte
LG euer Scherzkrapferl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:25 So 26.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Entscheiden sie ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind.
> Falls falsch, formulieren Sie den Satz entsprechend um.
>
> 1.) die Matrix A [mm]\in \IR^{n x n}[/mm] ist symmetrisch genau
> dann, wenn sie diagonalisierbar ist.
> 2.) Die Matrix A [mm]\in \IR^{n x n}[/mm] ist symmetrisch genau
> dann, wenn ihre Eigenwerte reell sind.
> Hallo,
>
> ich habe wieder mal eine Frage an euch und hoffe ihr könnt
> mir dabei Helfen. Heute geht es um die letzten Unklarheiten
> die ich selber noch nicht alleine lösen konnte.
>
> zu 1.) Jede diagonalisierbare Matrix ist symmetrisch. Wäre
> dies nicht eine bessere Formulierung ?
Ja.
> 2.) diesen Satz würde ich eher in: "Die Matrix A [mm]\in \IR^{n x n}[/mm]
> ist symmetrisch sofern unteranderem, ihre Eigenwerte reell
> sind."
Das ist kein deutscher Satz.
> - da die Alte Formulierung ja davon ausgeht dass
> eine Matrix mit reellen Eigenwerten automatisch symmetrisch
> ist, und keine anderen Kriterien mitspielen.
Du meinst also: "Ist $A$ symmetrisch, so sind die Eigenwerte von $A$ reell."
> oder habe ich es falsch verstanden und stimmen beide
> Aussagen?
Du hast das schon richtig verstanden. Du musst aber noch Gegenbeispiele angeben, warum die urspruenglichen Aussagen falsch sind.
> -Diagonalisierbare Matrizen sind ja symmetrisch
Ja. Aber umgekehrt nicht umbedingt.
> -Symmetrische Matrizen haben in [mm]\IR[/mm] ja reelle Eigenwerte
Ja. Aber umgekehrt nicht umbedingt.
LG Felix
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Vielen Dank :)
LG Scherzkrapferl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 So 26.06.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo,
> zu 1.) Jede diagonalisierbare Matrix ist symmetrisch. Wäre
> dies nicht eine bessere Formulierung ?
Sollte diese Aussage nicht genau umgekehrt lauten "Jede symmetrische Matrix ist diagonalisierbar"?
Nach Spektralsatz sind alle Eigenwerte einer symmetrischen Matrix reell und es gibt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren dieser Matrix. Daher ist die Matrix diagonalisierbar.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:40 So 26.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> > zu 1.) Jede diagonalisierbare Matrix ist symmetrisch. Wäre
> > dies nicht eine bessere Formulierung ?
> Sollte diese Aussage nicht genau umgekehrt lauten "Jede
> symmetrische Matrix ist diagonalisierbar"?
So ist es.
FRED
>
> Nach Spektralsatz sind alle Eigenwerte einer symmetrischen
> Matrix reell und es gibt eine Orthonormalbasis aus
> Eigenvektoren dieser Matrix. Daher ist die Matrix
> diagonalisierbar.
>
> LG
>
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> Hallo,
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> > zu 1.) Jede diagonalisierbare Matrix ist symmetrisch. Wäre
> > dies nicht eine bessere Formulierung ?
> Sollte diese Aussage nicht genau umgekehrt lauten "Jede
> symmetrische Matrix ist diagonalisierbar"?
Laut Vorlesung und Skript nicht ;)
> Nach Spektralsatz sind alle Eigenwerte einer symmetrischen
> Matrix reell und es gibt eine Orthonormalbasis aus
> Eigenvektoren dieser Matrix. Daher ist die Matrix
> diagonalisierbar.
>
> LG
>
das sie reell sind und eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren haben ist mir schon klar - danke - jedoch ging es um die exakte Formulierung/Umformulierung des oben genannten Satzes.
Noch dazu gibt es zu dieser Antwort eine eigene Frage :)
LG Scherzkrapferl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:44 So 26.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> >
> > > zu 1.) Jede diagonalisierbare Matrix ist symmetrisch. Wäre
> > > dies nicht eine bessere Formulierung ?
> > Sollte diese Aussage nicht genau umgekehrt lauten "Jede
> > symmetrische Matrix ist diagonalisierbar"?
>
> Laut Vorlesung und Skript nicht ;)
So ? Was steht denn da ?
FRED
>
> > Nach Spektralsatz sind alle Eigenwerte einer symmetrischen
> > Matrix reell und es gibt eine Orthonormalbasis aus
> > Eigenvektoren dieser Matrix. Daher ist die Matrix
> > diagonalisierbar.
> >
> > LG
> >
>
> das sie reell sind und eine Orthonormalbasis aus
> Eigenvektoren haben ist mir schon klar - danke - jedoch
> ging es um die exakte Formulierung/Umformulierung des oben
> genannten Satzes.
>
> Noch dazu gibt es zu dieser Antwort eine eigene Frage :)
>
> LG Scherzkrapferl
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"jede diagonalisierbare Matrix A ist symmetrisch" - Laut Skript.
Wikipedia spricht: "Für jede Diagonalmatrix A gilt, dass sie symmetrisch ist, folglich gilt: [mm] A=A^{T}"
[/mm]
Jedoch wenn du sagst dass jede symmetrische Matrix diagonalisierbar ist, widerspricht das ja noch nicht der aussage "jede diagonalisierbare Matrix ist symmetrisch" wenn sowieso für beide gilt [mm] A=A^{T}. [/mm] (falls ich mich irre bitte sagen)
Oder gibt es auch diagonalisierbare Martizen die nicht symmetrisch sind ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 So 26.06.2011 | | Autor: | fred97 |
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 2 } [/mm] ist diagonalisierbar, aber nicht symmetrisch
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 So 26.06.2011 | | Autor: | kamaleonti |
> "jede diagonalisierbare Matrix A ist symmetrisch" - Laut
> Skript.
Wenn das wirklich so ist, ist der Skript falsch.
>
> Wikipedia spricht: "Für jede Diagonalmatrix A gilt, dass
> sie symmetrisch ist, folglich gilt: $ [mm] A=A^{T}" [/mm] $
Das stimmt auch. Diagonalmatrix: Alle Einträge außerhalb der Hauptdiagonale sind 0
>
> Jedoch wenn du sagst dass jede symmetrische Matrix
> diagonalisierbar ist, widerspricht das ja noch nicht der
> aussage "jede diagonalisierbare Matrix ist symmetrisch" [mm] A=A^T [/mm] wenn sowieso für beide gilt a (falls ich mich irre bitte sagen)
>
> Oder gibt es auch diagonalisierbare Martizen die nicht
> symmetrisch sind ?
Ja, zum Beispiel [mm] \pmat{1&1\\0&2}.
[/mm]
LG
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> Wenn das wirklich so ist, ist der Skript falsch.
Das kann leicht sein, habe schon einige Fehler entdeckt *haha* ;)
> Ja, zum Beispiel [mm]\pmat{1&1\\0&2}.[/mm]
>
> LG
>
Hätte mir auch selbst einfallen können ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") .
Vielen Dank euch beiden für die Korrektur.
LG Scherzkrapferl
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