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Hallo zusammen,
angenommen [mm] C\in\IR^{n\times n} [/mm] ist eine symmetrische Matrix für die eine Zerlegung [mm] C=AA^T [/mm] existiert. Dann gilt für alle [mm] x\in\IR^n:
[/mm]
[mm] x^TAA^Tx=\|A^Tx\|^2\geq [/mm] 0.
D.h. diese Matrix ist positiv semidefinit. Das C p.s.d. scheint daran zu liegen, dass sich C als [mm] AA^T [/mm] darstellen lässt. Hat diese Zerlegung einen Namen? Oder muss man das als Definition von p.s.d. auffassen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 Di 07.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
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> angenommen [mm]C\in\IR^{n\times n}[/mm] ist eine symmetrische Matrix
> für die eine Zerlegung [mm]C=AA^T[/mm] existiert. Dann gilt für
> alle [mm]x\in\IR^n:[/mm]
>
> [mm]x^TAA^Tx=\|A^Tx\|^2\geq[/mm] 0.
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> D.h. diese Matrix ist positiv semidefinit. Das C p.s.d.
> scheint daran zu liegen, dass sich C als [mm]AA^T[/mm] darstellen
> lässt.
Ja
> Hat diese Zerlegung einen Namen?
Nicht , dass ich wüsste ...
> Oder muss man das
> als Definition von p.s.d. auffassen?
Nein. Man kann zeigen: ist die sym.Matrix C psd, so ex. eine sym. psd Matrix B mit [mm] C=B^2.
[/mm]
Dann ist auch [mm] C=BB^T.
[/mm]
FRED
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| Aufgabe | Ein k-dimensionaler Zufallsvektor $ X $ heißt k-variat normalverteilt, falls ein $ [mm] \mu\in\mathbb{R}^k [/mm] $ und ein $ [mm] L\in\mathbb{R}^{k\times m} [/mm] $ existiert mit $ rg(L)=m $, so dass $ [mm] X=LZ+\mu, [/mm] $ wobei $ [mm] Z=(Z_1,\ldots,Z_m)^T [/mm] $ und $ [mm] Z_i [/mm] $ $ [mm] \gls{IID} [/mm] $ sind mit $ [mm] Z_1\sim\mathcal{N}(0,1) [/mm] $.
In Zeichen schreibt man $ [mm] X\sim\mathcal{N}_k(\mu,\Sigma) [/mm] $ mit $ [mm] \Sigma=LL^T [/mm] $. Ist $ k=m $, so sagt man, dass $ Y $ eine nicht singuläre Normalverteilung besitzt, andernfalls $ (k>m) $ ist $ X $ singuläre normalverteilt. |
Hallo fred,
wenn ich deinen Satz nutzen möchte, dann müsste die Matrix L in der im Aufgabenteil genannten Definition p.s.d sein, richtig?
Woran erkennt man, in der Definition, dass L p.s.d. ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Mi 08.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ein k-dimensionaler Zufallsvektor [mm]X[/mm] heißt k-variat
> normalverteilt, falls ein [mm]\mu\in\mathbb{R}^k[/mm] und ein
> [mm]L\in\mathbb{R}^{k\times m}[/mm] existiert mit [mm]rg(L)=m [/mm], so dass
> [mm]X=LZ+\mu,[/mm] wobei [mm]Z=(Z_1,\ldots,Z_m)^T[/mm] und [mm]Z_i[/mm] [mm]\gls{IID}[/mm] sind
> mit [mm]Z_1\sim\mathcal{N}(0,1) [/mm].
> In Zeichen schreibt man
> [mm]X\sim\mathcal{N}_k(\mu,\Sigma)[/mm] mit [mm]\Sigma=LL^T [/mm]. Ist [mm]k=m [/mm],
> so sagt man, dass [mm]Y[/mm] eine nicht singuläre Normalverteilung
> besitzt, andernfalls [mm](k>m)[/mm] ist [mm]X[/mm] singuläre
> normalverteilt.
>
> Hallo fred,
>
> wenn ich deinen Satz nutzen möchte, dann müsste die
> Matrix L in der im Aufgabenteil genannten Definition p.s.d
> sein, richtig?
Nein. [mm] \Sigma [/mm] ist psd.
FRED
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> Woran erkennt man, in der Definition, dass L p.s.d. ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Di 07.05.2013 | | Autor: | wieschoo |
Allgemein kann man jede positiv definite Matrix $A$ per Cholesky-Zerlegung in die Form [mm] $A=BB^T$ [/mm] überführen.
Laut Google lässt sich das auch auf positiv semidefinite Matrizen erweitern siehe etwa:
http://eprints.ma.man.ac.uk/1193/01/covered/MIMS_ep2008_56.pdf
Edit: gude döutche Räschtschraipung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:30 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Reduktion |
Für eine bel. Matrix A mit [mm] AA^T\in\IR^{n\times n} [/mm] scheint für alle [mm] x\in\IR^n [/mm] x^TAA^Tx [mm] \geq [/mm] 0 zu sein, folglich ist [mm] AA^T [/mm] p.s.d., sehe ich das richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 Mi 08.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Für eine bel. Matrix A mit [mm]AA^T\in\IR^{n\times n}[/mm] scheint
> für alle [mm]x\in\IR^n[/mm] x^TAA^Tx [mm]\geq[/mm] 0 zu sein, folglich ist
> [mm]AA^T[/mm] p.s.d., sehe ich das richtig?
Ja
FRED
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besitzt dann jede symmetrische und p.s.d. Matrix C eine Zerlegung der Form [mm] C=AA^T [/mm] und is diese Zerlegung gleichzusetzen mit der Cholesky-Zerlegung?
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Hast du wenigsten mal über das PDF quer drübergelesen.
Bei positiv definiten Matrizen ist der Choleskyzerlegung eindeutigt. Bei p.s.d. ist dies nicht der Fall. Es gibt eben die Cholesky-Zerlegung p.d. Matrizen und eine Zerlegung für p.s.d. Matrizen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Reduktion |
Ich habe über das PDF gelesen, trotzdem hatte das nicht den Knoten gelöst, ich glaube es hat sich jetzt geklärt. Vielen Dank euch beiden.
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