Symmetrische Gruppe, Ordnung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 So 02.11.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | | Kann es in der symmetrischen Gruppe ein Element geben, dessen Ordnung o(g)>n ist? |
Hi,
ich habe mich gerade gefragt, ob man in der symmetrischen Gruppe [mm] $sym(\{1,...,n\}$ [/mm] ein Element finden kann, was eine größere Ordnung als n hat.
$o(g)>n$
Ich denke schon, dass man für gewisse n ein solches Element angeben könnte.
Oder ist es nicht möglich?
Würde mich mal interessieren.
|
|
| |
|
Hallo,
Zuerst dachte ich gerade, es ginge nicht, aber zum Glück habe ich keinen Beweis gefunden, denn der wäre falsch gewesen:
Betrachte die Permutation [mm] $(123)(45678)\in S_8$.
[/mm]
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 So 02.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Wow, wie hast du denn so schnell ein so hohes Beispiel gefunden?
War das einfach dein "erster Versuch"? Oder steckte da eine Systematik hinter.
Könntest du nochmal sagen wie man diese Notation ließt?
|
|
|
| |
|
Mir ist gerade aufgefallen, dass auch [mm] $(123)(4567)\in S_7$ [/mm] funktioniert. $(123) $ ist die Permutation, welche 1 auf 2, 2 auf 3 und 3 auf 1 schickt. Analog für (45678) und das Produkt ist die normale Komposition. Soweit zur Notation.
Es ist bekannt, dass die Ordnung eines Zykels durch dessen Länge gegeben ist. Außerdem ist bekannt, dass disjunkte Permutationen miteinander kommutieren. Damit sieht man leicht ein, dass die Ordnung des Produktes zweier disjunkter Permutationen das kleinste gemeinsame Vielfache ihrer Ordnungen ist. Damit sucht man jetzt einfach zwei disjunkte Zyklen mit teilerfremder Ordnun, denn dann multiplizieren sich die Ordnungen, das heißt die Ordnung wird schön groß. 3 und 4 sind die kleinsten teilerfremden Zahlen deren Produkt größer als ihre Summe ist, deswegen ist das Beispiel der $ [mm] S_7$ [/mm] minimal.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 So 02.11.2014 | | Autor: | YuSul |
:D
Ich hätte irgendwie gedacht, dass es nicht klappt, aber so kann man sich irren.
Vielen Dank für das Beispiel.
|
|
|
| |
|
Habe ich ja auch gedacht. Jetzt haben wir beide was gelernt 
Gute Nacht,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:40 So 02.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Gute Nacht.
|
|
|
|
