Symmetrische Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:41 Mi 26.10.2011 | | Autor: | Sin777 |
Hallo, ich habe nochmal eine Frage :) Bei uns im Skript steht Folgendes:
"Es sei Q:={(1,1),(1,-1),(-1,-1),(1,-1)} die Menge der Ecken eines Quadrats. Sym(Q) besteht aus acht Elementen: vier Drehungen (mit Identität) um den Urpsrung und vier Spiegelungen (je zwei an der Diagonalen und zwei an den Verbindungsgeraden)."
Eine Symmetriegruppe ist ja die Menge aller bijektiven, linearen Abbildungen einer Menge (hier) Q in sich selbst.
Nun zu meiner Frage: Kominatorisch komme ich hier auf 4!=24 Möglichkeiten. Wieso lässt er den Rest außer Acht? Ich könnte ja z.B. auch nur die oberen beiden Ecken vertauschen.
Gruß und schonmal vielen vielen Dank :)
|
|
| |
|
Hallo,
bei der Symmetriegruppe des Quadrats geht man davon aus, dass das Quadrat sich sozusagen wie ein fester Körper verhält, der allerdings nur aus den Kanten besteht. Die Kanten werden idealisiert mit der Dicke Null angenommen und haben daher auch keine Vorder- und Rückseite.
Dann gibt es genau die acht genannten Operationen, die das Quadrat in sich selbst überführen.
In keinem Fall aber ist es möglich, nur die beiden oberen Ecken zu tauschen o.ä.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:50 Mi 26.10.2011 | | Autor: | Sin777 |
Ok, das habe ich mir schon gedacht :) Vielen Dank.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Mi 26.10.2011 | | Autor: | Sin777 |
Nur um sicher zu gehen: Bei einem Würfel (also im R3), hätte die analoge Gruppe 11 Elemente. 4 Drehungen um die y-Achse (inkl. Identität), drei um die z-Achse und 4 um die Raumdiagonalen (also quer durch den Würfel). Stimmt das?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
nein, da fehlen noch welche.
> Nur um sicher zu gehen: Bei einem Würfel (also im R3),
> hätte die analoge Gruppe 11 Elemente. 4 Drehungen um die
> y-Achse (inkl. Identität), drei um die z-Achse
Wieso nur drei um die z-Achse? Und was ist mit der x-Achse?
Stell Dir mal den Würfel [mm] (\pm1,\pm1,\pm1) [/mm] vor.
Da also um alle 3 Koordinatenachsen je 4 Drehungen, macht 12.
> und 4 um
> die Raumdiagonalen (also quer durch den Würfel). Stimmt
> das?
Um jede der 4 Raumdiagonalen sind 3 Drehungen (inkl. Identität) möglich, macht also noch einmal 12.
Und dann gibt es noch die Geraden durch einen Seitenmittelpunkt und den Mittelpunkt des Würfels (und daher dann auch durch einen weiteren Seitenmittelpunkt). Es gibt also 6 solche Geraden und da je 2 Drehungen. Also weitere 12.
Dann kommen noch die Ebenenspiegelungen. Alle Spiegelebenen gehen durch den Mittelpunkt. Drei davon sind parallel zu den Seitenflächen, sechs enthalten eine Seitendiagonale (und die gegenüberliegende), also nochmal 18 Symmetrien (da je 2).
Und schließlich gibt es noch Drehspiegelungen, nämlich Spiegelungen an Mittelpunktsebenen, die senkrecht auf den Raumdiagonalen stehen. Der Würfel wird in sich selbst übergeführt, wenn er an der Ebene gespiegelt und um [mm] \tfrac{1}{3}\pi, \pi [/mm] oder [mm] \tfrac{5}{3}\pi [/mm] gedreht wird. Vier Ebenen, je drei Symmetrien, also nochmal 12. Diese Drehspiegelungen werden übrigens meist nicht mitgezählt. Untersuch doch einmal, was sie für die Gruppenstruktur bedeuten.
Insgesamt hat die Gruppe also 54 Elemente (mit Drehspiegelungen 66).
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 Mi 26.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Wieso nur drei um die z-Achse? Und was ist mit der
> x-Achse?
> Stell Dir mal den Würfel [mm](\pm1,\pm1,\pm1)[/mm] vor.
>
> Da also um alle 3 Koordinatenachsen je 4 Drehungen, macht
> 12.
...von denen vier gleich sind: bei den vier Drehungen pro Koordinatenachse ist immer die Identitaet mit dabei 
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:48 Mi 26.10.2011 | | Autor: | reverend |
Arggh. Hmpf. Natürlich.
> > Da also um alle 3 Koordinatenachsen je 4 Drehungen, macht
> > 12.
>
> ...von denen vier gleich sind: bei den vier Drehungen pro
> Koordinatenachse ist immer die Identitaet mit dabei
Moin Felix,
da sind noch ein paar mehr Identitäten mitgezählt. Aber Material ist ja jetzt vorhanden, die Auswertung überlasse ich also mal Sin777, dem Fragesteller.
Grüße
reverend
PS: Ist eh klüger, ich leg mich wieder hin...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 Mi 26.10.2011 | | Autor: | Sin777 |
Mh, ok. Dann gibt es:
4 + 3 + 3 Drehungen um die Koordinatenachsen (inklusive Identität)
2 * 4 = 8 Drehungen um die Raumdiagonalen
und 6 Drehungen um die Mittelpunkte "gegenüberliegender" Kanten
macht 24.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Mh, ok. Dann gibt es:
>
> 4 + 3 + 3 Drehungen um die Koordinatenachsen (inklusive
> Identität)
>
> 2 * 4 = 8 Drehungen um die Raumdiagonalen
>
> und 6 Drehungen um die Mittelpunkte "gegenüberliegender"
> Kanten
>
> macht 24.
An reinen Drehungen: ja.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:30 Do 27.10.2011 | | Autor: | Sin777 |
D.h. es fehlen noch Elemente aus der Gruppe?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> D.h. es fehlen noch Elemente aus der Gruppe?
Ja, die Spiegelsymmetrien, und evtl. die Spiegel-Dreh-Symmetrie.
Grüße
rev
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 Mi 26.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo, ich habe nochmal eine Frage :) Bei uns im Skript
> steht Folgendes:
>
> "Es sei Q:={(1,1),(1,-1),(-1,-1),(1,-1)} die Menge der
> Ecken eines Quadrats. Sym(Q) besteht aus acht Elementen:
> vier Drehungen (mit Identität) um den Urpsrung und vier
> Spiegelungen (je zwei an der Diagonalen und zwei an den
> Verbindungsgeraden)."
>
> Eine Symmetriegruppe ist ja die Menge aller bijektiven,
> linearen Abbildungen einer Menge (hier) Q in sich selbst.
Im allgemeinen ist die Symmetriegruppe eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe: die symmetrische Gruppe ist die Gruppe aller Bijektionen. Eine Symmetriegruppe muss jedoch nicht alle Bijektionen enthalten.
LG Felix
|
|
|
|
