matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > MatheForen > Uni-Lineare Algebra > Symmetrische Bilinearform und polare Unterräume
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Uni-Lineare Algebra" - Symmetrische Bilinearform und polare Unterräume
Symmetrische Bilinearform und polare Unterräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Symmetrische Bilinearform und polare Unterräume: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:26 Di 11.05.2004
Autor: Kacknoob

Hi ich grüsse dieses Forum !

Ich habe folgendes Problem:
Seien v die Std-Basis des [mm] R^3 [/mm] und b die symmetrische Bilinearform:
b (v, v) := Matrix([ [13,14,-2],[14,15,-2],[-2,-2,0] ])
Berechnen sie eine Basis des bezüglich b zu X polaren Unterraumes.
X:= R(3,1,2) + R(1, 0,1) + R(2,1,1)

Wie funktioniert das 1. ohne Gram-Schmidt und 2. nur mithilfe der Bilinearform ?

Danke im voraus
        
Bezug
Symmetrische Bilinearform und polare Unterräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:26 Di 11.05.2004
Autor: Julius

Hallo,

es funktioniert natürlich (unelegant) durch gnadenloses Einsetzen. ;-)

Es geht ja um diesen Unterraum:

[mm] X:= \IR \begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+ \IR \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \IR \begin{pmatrix} 2 \\1 \\1 \end{pmatrix}[/mm].

Eine Basis dieses zweidimensionalen Unterraumes wird durch

[mm]{\cal B}:= \left( \begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right)[/mm]

gegeben.

Zu lösen sind also die beiden Gleichungen:

[mm] \begin{pmatrix}3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 13 & 14 & -2\\ 14 & 15 & -2\\ -2 & -2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a \\ b \\ c \end{pmatrix}= 0[/mm]

und

[mm] \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 13 & 14 & -2\\ 14 & 15 & -2\\ -2 & -2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a \\ b \\ c \end{pmatrix}= 0[/mm],

in Abhängigkeit einer der drei Variablen [mm]a[/mm], [mm]b[/mm] oder [mm]c[/mm].

Das ist aber die Holzhammermethode. Vielleicht geht es ja auch eleganter? Da fällt mir aber gerade nichts ein...

Naja, versuche es mal und melde dich mit einem Ergebnis. :-)

Liebe Grüße
Julius


Bezug
                
Bezug
Symmetrische Bilinearform und polare Unterräume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:25 Mi 12.05.2004
Autor: Kacknoob

Ich habe einen weiteren Lösungweg gefunden .... :)

Da der Lösungsraum normal auf den Spaltenraum steht, kann man die Basis von X zu einer Koeffizienten-Matrix zusammenfassen, und so das lineare GLS lösen .... der/die Lösungsvektoren stehen somit schon automatisch normal auf der Basis .... ob das mit der Bilinearform verträglich ist, weiss ich nicht
Bezug
                        
Bezug
Symmetrische Bilinearform und polare Unterräume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:12 Mi 12.05.2004
Autor: Julius

Hallo,

ich verstehe deinen Lösungsvorschlag, ehrlich gesagt, nicht, aber das liegt bestimmt an mir und meinem Halbwissen über Sesquilinearformen und ihre Matrixdarstellung.

Vielleicht kann dir ja jemand anders helfen. Oder aber du erklärst mir deine Idee noch einmal etwas genauer... :-)

Liebe Grüße
Julius
Bezug
                                
Bezug
Symmetrische Bilinearform und polare Unterräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:47 Mi 12.05.2004
Autor: Kacknoob

Hallo Julius !

Ich habe einen interessanten Satz in meinem Skriptum gefunden:
Der Spaltenraum einer Matrix (gebildet durch die Orthonomalbasen) steht orthogonal auf dem Lösungsraum dieser Matrix .... daher meine Idee .... wenn ich die Basen orthonomalisiere und sie zu einer Matrix zusammenfasse, und das so gebildete LGS betrachte, würden die Lösungsvektoren orthogonal zu den ONB stehen. Dies würde meiner Meinung nach ws nur mit dem Standard-Skalarprodukt funktionieren.

Aber ich habe noch eine 2. Idee:
Für alle y aus dem polaren Unterraum muss ja gelten: b(v, y) = 0 wobei v Basis von X. Da meine Basis von X hier aus 2 Vektoren besteht, betrachte ich:
b (v1, y) = 0 und b (v2, y) = 0 y = (a,b,c) und bekomme so auch ein GLS und kann y damit lösen.

Trotzdem danke für deine Antwort Julius :)

Bezug
                                        
Bezug
Symmetrische Bilinearform und polare Unterräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:21 Mi 12.05.2004
Autor: Julius

Hallo,

> Ich habe einen interessanten Satz in meinem Skriptum
> gefunden:
> Der Spaltenraum einer Matrix (gebildet durch die
> Orthonomalbasen) steht orthogonal auf dem Lösungsraum
> dieser Matrix .... daher meine Idee .... wenn ich die Basen
> orthonomalisiere und sie zu einer Matrix zusammenfasse, und
> das so gebildete LGS betrachte, würden die Lösungsvektoren
> orthogonal zu den ONB stehen. Dies würde meiner Meinung
> nach ws nur mit dem Standard-Skalarprodukt funktionieren.

Ach so. Ja, stimmt, aber das führt hier zu nichts.
  
> Aber ich habe noch eine 2. Idee:
>  Für alle y aus dem polaren Unterraum muss ja gelten: b(v,
> y) = 0 wobei v Basis von X. Da meine Basis von X hier aus 2
> Vektoren besteht, betrachte ich:
>  b (v1, y) = 0 und b (v2, y) = 0 y = (a,b,c) und bekomme so
> auch ein GLS und kann y damit lösen.

Wie? Das war doch genau mein Ansatz, den ich hier reingestellt hatte. (!?) Jetzt bin ich verwirrt.

Liebe Grüße
Julius  

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]