Symmetrische Bilinearform, reg < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:36 Fr 03.06.2011 | | Autor: | Okus |
| Aufgabe | Sei f eine symmetrische Bilinearform auf dem K-Vektorraum V (K ein Körper).
Ein Untervektorraum U von V heißt totalisotrop, wenn U [mm] \subseteq U\perp [/mm] ist
a) Sei V = R4. Man gebe ein Beispiel für ein reguläres f, derart dass V einen 1-
dimensionalen totalisotropen Untervektorraum enthält aber keinen 2-dimensionalen. |
Ich brauche dringend hilfe. ich komme einfach nicht auf die lösung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:59 Fr 03.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei f eine symmetrische Bilinearform auf dem K-Vektorraum V
> (K ein Körper).
> Ein Untervektorraum U von V heißt totalisotrop, wenn U
> [mm]\subseteq U\perp[/mm] ist
> a) Sei V = R4. Man gebe ein Beispiel für ein reguläres
> f, derart dass V einen 1-
> dimensionalen totalisotropen Untervektorraum enthält aber
> keinen 2-dimensionalen.
> Ich brauche dringend hilfe. ich komme einfach nicht auf
> die lösung.
Du musst $f$ so waehlen, dass [mm] $\{ v \in \IR^4 \mid f(v, v) = 0 \}$ [/mm] eindimensional ist.
Weisst du, was die Beziehung dieses UVRs zur Matrix von $f$ ist? (Man kann ja $f(v, w) = [mm] v^T [/mm] A w$ schreiben mit einer Matrix $A [mm] \in \IR^{4 \times 4}$.)
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:25 Fr 03.06.2011 | | Autor: | Okus |
Ja ich weiß was es mit der "gramschen" martix auf sich hat. aber ich verstehe nicht wirklich, wie ich die matrix gestalten soll
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:49 Fr 03.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ja ich weiß was es mit der "gramschen" martix auf sich
> hat.
Gut. Dann sag doch mal, wie man die Dimension von [mm] $\{ v \in \IR^4 \mid f(v, v) = 0 \}$ [/mm] aus der Matrix bestimmen kann. Damit kann man dann auch diese Frage beantworten:
> aber ich verstehe nicht wirklich, wie ich die matrix
> gestalten soll
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:55 Fr 03.06.2011 | | Autor: | Okus |
angenommen wir haben die gramsche martix diag(e,f,g,h).
Dann ist ein vektor (a,b,c,d) genau dann isotrop, wenn a²*e+b²*f+c²*f+d²*g=0 gilt. (ergibt sich durch ausrechnen)
Ich gucke jetzt schon ne weile und versuche durch ausprobieren, dass ist da nur linear abhängige (a,b,c,d) herausbekomme. (dann wäre die menge ja 1-dimensional)
Ich komme irgendwie nicht weiter...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:30 So 05.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> angenommen wir haben die gramsche martix diag(e,f,g,h).
>
> Dann ist ein vektor (a,b,c,d) genau dann isotrop, wenn
> a²*e+b²*f+c²*f+d²*g=0 gilt. (ergibt sich durch
> ausrechnen)
Du meinst [mm] $a^2 [/mm] e + [mm] b^2 [/mm] f + [mm] c^2 [/mm] g + [mm] d^2 [/mm] h = 0$.
> Ich gucke jetzt schon ne weile und versuche durch
> ausprobieren, dass ist da nur linear abhängige (a,b,c,d)
> herausbekomme. (dann wäre die menge ja 1-dimensional)
>
> Ich komme irgendwie nicht weiter...
Nun, wenn $e, f, g, h [mm] \ge [/mm] 0$ sind, dann ist [mm] $a^2 [/mm] e + [mm] b^2 [/mm] f + [mm] c^2 [/mm] g + [mm] d^2 [/mm] h = 0$ genau dann, wenn alle Summanden gleich 0 sind. Das solltest du ausnutzen.
Tipp: du kannst $e, f, g, h [mm] \in \{ 0, 1 \}$ [/mm] waehlen.
LG Felix
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