Symmetrische Bilinearform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 Mi 07.09.2005 | | Autor: | Olek |
Hallo Matheraum,
dank eurer Hilfe hab ich meine Klausur bald durch (also die Fragen, von denen ich keinen blassen Schimmer habe). Die Aufgabe lautet:
Bestimmen sie Rang, Index und Nullität der symmetrischen Bilinearform g(a, b) = Spur(ab) auf M (n; [mm] \IR).
[/mm]
Bei dieser Aufgabe fehlt mir jeglicher Ansatz. Ich weiß nicht wie ich hier anfangen muß und auch gar nicht (auch wenn das häufig nur zweitrangig ist) was das soll und was es bedeutet.
Für einen Ansatz wäre ich erstmal sehr dankbar, vielleicht komme ich dann schon alleine weiter.
Vielen Dank und liebe Grüße,
Olek
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Mi 07.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich habe es selber noch nicht versucht, aber ich würde so vorgehen:
Stelle doch mal bezüglich der Standardbasis von [mm] $M(n,\IR)$ [/mm] die Gramsche Matrix auf und untersuche diese. Ich würde es erst einmal mit $n=2$, $n=3$, etc. probieren...
Überlege dir mal:
Gibt es eine Matrix $A$, die auf allen anderen senkrecht steht, für die also $Spur(AB)=0$ für alle $B [mm] \in M(n,\IR)$ [/mm] gilt? Wenn nein: Was folgt daraus für den Rang der Gramschen Matrix?
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:20 Do 08.09.2005 | | Autor: | Olek |
Hallo Stefan,
die Gramsche Matrix ist mir gar kien Begriff, hatten wir auch in der Vorlesung nicht (hab grad die Suchfunktion im Skipt benutzt).
Habe gerade versucht was darüber rauszufinden, bin mir aber unsicher. Ist das die Matrix, die ich nach der Multiplikation von A mit seiner Transponierten erhalte? Vielleicht kannst du mir das kurz erklären, dann verstehe ich vielleicht auch, worauf du mit "dann überleg dir mal" hinaus möchtest. :)
Schonmal vielen Dank,
Olek
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Hi Olek
also die Gramsche Matrix ist im Prinzip eine Darstellungsmatrix deiner Bilinearform. Du hast eine Basis [mm] \cal{V} [/mm] mit den Einträgen vi und dann ist die Gramsche Matrix definiert als:
[mm] \cal{G_{ \cal{V} } }= [/mm] <vi,vj> [mm] \_{ i, j} [/mm] wobei <..> das Skalarprodukt ist .
Wenn eine Bilinearform symmetrisch ist ist auch die Gramsche Matrix symmetrisch und das ist genau dann der Fall wenn M = [mm] M^{T}.
[/mm]
Liebe Grüße
Britta
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Do 08.09.2005 | | Autor: | Olek |
Hi Britta,
danke erstmal für deine Antwort. Aber wie verwende ich die Gramsche Matrix, um Informationen über Rang, Index und Nullität zu erhalten?
Und kann es sein, dass hier:
$ [mm] \cal{G_{ \cal{V} } }= [/mm] $ <vi,vj> $ [mm] \_{ i, j} [/mm] $ wobei <..> das Skalarprodukt ist .
etwas fehlt? Da ist ein Strich vor dem i, j hattest du da ggf. was wichtiges vergessen?
LG Ole
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 Do 08.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Olek!
Britte meint die Matrix
[mm] $\pmat{ \langle v_1,v_1 \rangle & \ldots & \langle v_1,v_n \rangle \\ \vdots & \ldots & \vdots \\ \langle v_n,v_1 \rangle & \ldots & \langle v_n,v_n \rangle}$.
[/mm]
Wie habt ihr denn Nullität, Rang und Index definiert? Ich kenne es so, dass es über die Gramsche Matrix (Strukturmatrix) definiert wird.
Kannst du die Definitionen aus dem Skript mal abschreiben oder besser noch auf das Skript verlinken?
Danke!
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Do 08.09.2005 | | Autor: | Olek |
Hallo,
hier erstmal der Link. Scheint nicht so gängig zu sein, was unser Prof da mit uns gemacht hat!?
https://www.mi.uni-koeln.de/Vorlesung_Thorbergsson/laskript2.pdf
Der Index ist soweit ich das verstanden habe bei der Diagonalmatrix die Anzahl der negativen Zahlen, und die Nullität die Dimension des Kerns.
Aber ist die Gramsche Matrix in dieser Aufgabe eine Diagonalmatrix? So viel weiß man ja nicht, lediglich dass g(a,b)=Spur(ab). Aber wie hängt das mit der Matrix zusammen?
LG Olek
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:06 Fr 09.09.2005 | | Autor: | Britta82 |
Hi,
ich kann den Link nicht öffenen, irgendwie werde ich nach deinem Benutzernamen und Passwort gefragt.
Geht es nur mir so? oder auch anderen?
Britta
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:18 Fr 09.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Olek!
Wie Britta schon meinte, läst sich der Link nicht öffnen.
Nein, die Gramsche Matrix muss keine Diagonalmatrix sein (sie lässt sich aber diagonalisieren).
Wichtig ist: Es geht einfach um die Anzahl der positiven und negativen Eigenwerte dieser Matrix. Nach dem Sylvesterschen Trägheitssatz sind diese Anzahlen unabhängig von der verwendeten Basis.
Theoretisch könnte auch noch der Eigenwert $0$ rauskommen. Doch die Nullität ist hier gleich $0$, d.h. der Eigenwert $0$ kommt nicht vor. (Damit ist der Rang natürlich gleich $n$.)
Warum? Ganz einfach! Weil die Bilinearform nicht ausgeartet ist. Denn ist $A [mm] \ne [/mm] 0$, dann gibt es ein [mm] $a_{ij} \ne [/mm] 0$, und es gilt dann [mm] $\langle A,E_{ji} \rangle [/mm] = [mm] Spur(AE_{ji}) [/mm] = [mm] a_{ij} \ne [/mm] 0$.
Jetzt musst du dir nur noch überlegen, wie viele positive und negative Eigenwerte die Gramsche Matrix besitzt.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:01 Do 08.09.2005 | | Autor: | Britta82 |
hi Olek,
also der Strich kam zu Stande, weil ich den Formeleditor schlecht verwendet habe, eigentlich sollte i,j klein hinter dem SP stehen.
Den Rang kannst du ganz normal mit Gauß berechnen. Die Definition von Nullität und Index sagt mir leider nichts.
Liebe Grüße
Britta
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Hallo Olek,
> danke erstmal für deine Antwort. Aber wie verwende ich die
> Gramsche Matrix, um Informationen über Rang, Index und
> Nullität zu erhalten?
Die Nullität ist definiert als Anzahl der Nullen,
der Index ist definiert ist als die Anzahl der Minuseinsen (-1).
Ich denke, da musst Du die Eigenwerte der Bilinearform betrachten.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:03 Fr 09.09.2005 | | Autor: | Britta82 |
Hi,
Gibt es auf Bilinearformen überhaupt EW? Die Bilinearform ist ja definiert von VxV [mm] \to [/mm] V, während die EW für Endomorphismen definiert sind.
Also Eigenvektoren kann es ja auf jeden Fall nicht geben, also wie soll es dann EW geben?
Danke und Grüße
Britta
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:05 Fr 09.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Britta!
Es geht hier um die (Vorzeichen der) Eigenwerte der Gramschen Matrix, die zu der Bilinearform gehört.
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:37 Fr 09.09.2005 | | Autor: | Olek |
So ihr lieben, vielen Dank für diesen regen Gedankenaustausch. Ich werde jetzt mal sehen was sich damit machen lässt. Tschuldigung dass der Link nicht funktioniert. Hätte ich mir denken können, leider hab ich das Password nicht notiert, weils schon seit nem Jahr gespeichert ist bei mir.
LG Olek
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