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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Zweiti |
| Aufgabe | Es sei [mm] A\in [/mm] Mat(n x [mm] n;\IR) [/mm] symmetrische Matrix. Zeigen Sie:
a) [mm] \beta_{A}: \IR^{n} [/mm] x [mm] \IR^{n} \to \IR
[/mm]
(x,y) [mm] \mapsto x^{T}Ay
[/mm]
ist symmetrische Bilinearform auf [mm] \IR^{n}
[/mm]
b) A ist die Matrix von [mm] \beta_{A} [/mm] nzgl. der Standardbasis [mm] \{e_{1},...,e_{n}\}.
[/mm]
c) Die Bilinearform [mm] \beta_{A} [/mm] ist nicht ausgeartet genau dann wenn A invertierbar ist.
(Eine Bilinearform [mm] \beta [/mm] auf [mm] \IR^{n} [/mm] heißt nicht ausgeartet, falls die Linearformen [mm] \beta(x, [/mm] ): [mm] \IR^{n} \to \IR [/mm] von Null verschieden sind für alle x [mm] \in \IR^{n}, x\not=0.)
[/mm]
d) Für A= [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 2 } [/mm] ist [mm] \beta_{A} [/mm] ein Skalarprodukt auf [mm] \IR^{4} [/mm] |
Hallo alle zusammen,
also Aufgabenteil a) hab ich gelöst, indem ich einfahc die Kriterien für symmetrie und Bilinearität gezeigt hab.
Bei Aufgabe d) habe ich einfach die Kriterien für die konkrete Matrix überprüft.
Aber bei b,c ist mir noch nicht mal die Aufgabenstellung klar.
Ich wäre für Tipps die zur Lsg. führen dankbar.
Ich hab die Frage nur hier gestellt.
Zweiti
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> Es sei [mm]A\in[/mm] Mat(n x [mm]n;\IR)[/mm] symmetrische Matrix. Zeigen
> Sie:
> a) [mm]\beta_{A}: \IR^{n}[/mm] x [mm]\IR^{n} \to \IR[/mm]
> (x,y) [mm]\mapsto x^{T}Ay[/mm]
>
> ist symmetrische Bilinearform auf [mm]\IR^{n}[/mm]
> b) A ist die Matrix von [mm]\beta_{A}[/mm] nzgl. der Standardbasis
> [mm]\{e_{1},...,e_{n}\}.[/mm]
> c) Die Bilinearform [mm]\beta_{A}[/mm] ist nicht ausgeartet genau
> dann wenn A invertierbar ist.
> (Eine Bilinearform [mm]\beta[/mm] auf [mm]\IR^{n}[/mm] heißt nicht
> ausgeartet, falls die Linearformen [mm]\beta(x,[/mm] ): [mm]\IR^{n} \to \IR[/mm]
> von Null verschieden sind für alle x [mm]\in \IR^{n}, x\not=0.)[/mm]
>
> d) Für A= [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 2 }[/mm]
> ist [mm]\beta_{A}[/mm] ein Skalarprodukt auf [mm]\IR^{4}[/mm]
> Aber bei b,c ist mir noch nicht mal die Aufgabenstellung
> klar.
Hallo,
die Aufgabe b) verstehe ich so, daß Du folgendes zeigen sollst:
der Eintrag [mm] a_i_j [/mm] der Matrix ist [mm] a_i_j=\beta_{A}(e_i, e_j).
[/mm]
Zu c)
Das in Klammern anders formuliert: eine Bilinearform heiß "nicht ausgeartet", wenn es zu jedem von 0 verschiedenen x ein y gibt, so daß [mm] \beta(x,y)\not=0 [/mm] ist.
Du sollst nun zeigen, da0 das genau dann der Fall ist, wenn die Darstellungsmatrix der Bilinearform invertierbar ist.
Gruß v. Angela
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