Symmetrisch zur Null-Linie < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Di 20.05.2014 | | Autor: | Marcel |
| Aufgabe | Hallo,
ich habe folgenden Satz (bzgl. komplexer Fourierkoeffizienten) gefunden:
Ist ein Signal symmetrisch zur Null-Linie, so hat dieses nur Fourierkoeff. [mm] $c_k$
[/mm]
für ungerade [mm] $k\,.$ [/mm] |
Obiger Aussage ist sicher nicht schwer herzuleiten (natürlich gehen wir davon
aus, dass das Signal periodisch und in eine Fourierreihe entwickelbar ist etc.;
das habe ich nicht wirklich oben erwähnt, so, wie es halt Ingenieure auch
nicht immer erwähnen [gut, ich habe es hiermit an dieser Stelle dann doch
erwähnt  ]).
Das Problem ist nur: Ich finde nirgends eine Definition, was genau es
bedeutet, dass ein Signal symmetrisch zur Nulllinie sei. Mithilfe von Google
bin ich immer nur auf Seiten gestoßen, wo gesagt wurde, dass man bei dem
Bild ... sehe, dass das Signal symmetrisch zur Nulllinie sei.
Hat jemand eine Definition parat? (Punktsymmetrie oder Achsensymmetrie
sind ja auch nicht schwer zu definieren...)
Gruß,
Marcel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Di 20.05.2014 | | Autor: | chrisno |
Da staune ich, was ich schon benutzt habe, ohne genauer darüber nachzudenken.
Ich verstehe den Begriff so, dass es eine Verschiebung gibt, nach der das Signal punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
Ich würde allerdings auch akzeptieren, wenn es ein [mm] $x_0$ [/mm] gibt, so dass $f(x + [mm] x_0) [/mm] = -f(x)$, also wenn eine Gleitspiegelung vorliegt.
In manchen Zusammenhängen ist allerdings auch nur die Flächengleichheit des Signalanteils ober- und unterhalb der x-Achse gemeint, oder die Betragsgleichheit von Minimal- und Maximalwerten.
Ich würde sagen: dreh es um. Was folgt, wenn nur ungerade Koeffizienten vorkommen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:00 Mi 21.05.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi Chrisno,
> Da staune ich, was ich schon benutzt habe, ohne genauer
> darüber nachzudenken.
und ich musste mich schon fast überwinden, die Frage überhaupt zu
stellen. (Übrigens Danke für Deine Antwort!)
Aber da ich es mir selbst nicht erklären konnte (bzw. meine Erklärungen
dann nicht zur Aussage gepasst hätten - ich dachte mir etwa:
Ein [mm] $T\,$-periodisches [/mm] Signal [mm] $f\,$ [/mm] heißt symmetrisch zur Nulllinie, wenn
gilt (dabei $T > [mm] 0\,$ [/mm] kleinste Periode):
Es gibt ein [mm] $x_0$ [/mm] so, dass für alle [mm] $x\,$ [/mm] gilt
[mm] $f(T/4+(x-x_0)=f(T/4-(x-x_0))$
[/mm]
und
[mm] $f(T/2-(x-x_0))=-f(T/2+(x-x_0))\,.$
[/mm]
Das passt aber nicht...
> Ich verstehe den Begriff so, dass es eine Verschiebung
> gibt, nach der das Signal punktsymmetrisch zum Ursprung
> ist.
Sowas dachte ich auch schon - aber dann passt die Aussage oben auch
nicht:
Nimm' einfach [mm] $\sin(2x)$ [/mm] her. Diese Funktion hat sicher einen
Fourierkoeffizienten [mm] $c_2$ [/mm] - sie ist ja ihre eigene Fourierreihe.
> Ich würde allerdings auch akzeptieren, wenn es ein [mm]x_0[/mm]
> gibt, so dass [mm]f(x + x_0) = -f(x)[/mm], also wenn eine
> Gleitspiegelung vorliegt.
Das klingt jetzt interessant: Die um [mm] $x_0$ [/mm] nach links verschobenen
Werte passen zu dem an der [mm] $x\,$-Achse [/mm] gespiegelten entsprechenden
Funktionswert? Das muss ich mir mal skizzieren...
> In manchen Zusammenhängen ist allerdings auch nur die
> Flächengleichheit des Signalanteils ober- und unterhalb
> der x-Achse gemeint, oder die Betragsgleichheit von
> Minimal- und Maximalwerten.
Ohje: Ich glaube, das würde gar nicht zu der Aussage passen...
> Ich würde sagen: dreh es um. Was folgt, wenn nur ungerade
> Koeffizienten vorkommen.
Ich weiß nicht, ob das eine "genau-dann-wenn"-Aussage ist. Aber ich
werde mir vielleicht einfach mal ein paar Fourierteilsummen hinschreiben,
die nur für ungerade [mm] $k\,$ [/mm] Nichtnull-Koeffizienten haben und mir die
Graphen mal plotten lassen.
Aber ist das nicht kurios, dass dieser Begriff wie selbstverständlich
gehändelt wird, aber man nirgends eine griffige Definition findet?
Auch ![[]](/images/popup.gif) hier habe ich was interessantes gefunden:
"Wenn das Signal unter der Nullinie, wie verzerrt auch immer,
spiegelverkehrt und um 180 Grad phasenverschoben genauso aussieht
wie das ueber der Linie, ist es symmetrisch."
Da störe ich mich aber an den 180 Grad (da muss es doch eher einen
Zshg. zur (kleinsten) Periode [mm] $T>0\,$ [/mm] geben - also wohl [mm] $T/2\,$. [/mm] Aber
dann kann ich wieder $sin(2x)$ hernehmen, wo das nicht passt...) - und
zudem daran, wie das "spiegelverkehrt" da genau zu verstehen ist. Bzgl.
was ist die Spiegelung gemeint?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:28 Mi 21.05.2014 | | Autor: | chrisno |
Die Textstelle hatte ich auch. Ich fand die Formulierung nicht eindeutig, auf was bezieht sich "verzerrt"? Ich vermute, das beschreibt die Abweichung vom Sinus. Sei mit der Periodenlänge nicht so kleinlich. Da wird hingeschrieben, was gerade einfällt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:18 Mi 21.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi Chrisno,
>
> > Da staune ich, was ich schon benutzt habe, ohne genauer
> > darüber nachzudenken.
>
> und ich musste mich schon fast überwinden, die Frage
> überhaupt zu
> stellen. (Übrigens Danke für Deine Antwort!)
>
> Aber da ich es mir selbst nicht erklären konnte (bzw.
> meine Erklärungen
> dann nicht zur Aussage gepasst hätten - ich dachte mir
> etwa:
> Ein [mm]T\,[/mm]-periodisches Signal [mm]f\,[/mm] heißt symmetrisch zur
> Nulllinie, wenn
> gilt (dabei [mm]T > 0\,[/mm] kleinste Periode):
> Es gibt ein [mm]x_0[/mm] so, dass für alle [mm]x\,[/mm] gilt
>
> [mm]f(T/4+(x-x_0)=f(T/4-(x-x_0))[/mm]
>
> und
>
> [mm]f(T/2-(x-x_0))=-f(T/2+(x-x_0))\,.[/mm]
>
> Das passt aber nicht...
>
> > Ich verstehe den Begriff so, dass es eine Verschiebung
> > gibt, nach der das Signal punktsymmetrisch zum Ursprung
> > ist.
>
> Sowas dachte ich auch schon - aber dann passt die Aussage
> oben auch
> nicht:
> Nimm' einfach [mm]\sin(2x)[/mm] her. Diese Funktion hat sicher
> einen
> Fourierkoeffizienten [mm]c_2[/mm] - sie ist ja ihre eigene
> Fourierreihe.
>
> > Ich würde allerdings auch akzeptieren, wenn es ein [mm]x_0[/mm]
> > gibt, so dass [mm]f(x + x_0) = -f(x)[/mm], also wenn eine
> > Gleitspiegelung vorliegt.
>
> Das klingt jetzt interessant: Die um [mm]x_0[/mm] nach links
> verschobenen
> Werte passen zu dem an der [mm]x\,[/mm]-Achse gespiegelten
> entsprechenden
> Funktionswert? Das muss ich mir mal skizzieren...
>
> > In manchen Zusammenhängen ist allerdings auch nur die
> > Flächengleichheit des Signalanteils ober- und unterhalb
> > der x-Achse gemeint, oder die Betragsgleichheit von
> > Minimal- und Maximalwerten.
>
> Ohje: Ich glaube, das würde gar nicht zu der Aussage
> passen...
>
> > Ich würde sagen: dreh es um. Was folgt, wenn nur ungerade
> > Koeffizienten vorkommen.
>
> Ich weiß nicht, ob das eine "genau-dann-wenn"-Aussage ist.
> Aber ich
> werde mir vielleicht einfach mal ein paar
> Fourierteilsummen hinschreiben,
> die nur für ungerade [mm]k\,[/mm] Nichtnull-Koeffizienten haben
> und mir die
> Graphen mal plotten lassen.
>
> Aber ist das nicht kurios, dass dieser Begriff wie
> selbstverständlich
> gehändelt wird, aber man nirgends eine griffige
> Definition findet?
>
> Auch
> hier
> habe ich was interessantes gefunden:
> "Wenn das Signal unter der Nullinie, wie verzerrt auch
> immer,
> spiegelverkehrt und um 180 Grad phasenverschoben genauso
> aussieht
> wie das ueber der Linie, ist es symmetrisch."
>
> Da störe ich mich aber an den 180 Grad (da muss es doch
> eher einen
> Zshg. zur (kleinsten) Periode [mm]T>0\,[/mm] geben - also wohl
> [mm]T/2\,[/mm]. Aber
> dann kann ich wieder [mm]sin(2x)[/mm] hernehmen, wo das nicht
> passt...) - und
> zudem daran, wie das "spiegelverkehrt" da genau zu
> verstehen ist. Bzgl.
> was ist die Spiegelung gemeint?
Hallo Marcel,
obiges Zitat verstehe ich so (wobei mich das "wie verzerrt auch immer" nicht weiter stört):
Gegeben ist eine $ 2 [mm] \pi$ [/mm] - periodische Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$. [/mm] Weiter sei für $k [mm] \in \IZ$ [/mm] das Intervall [mm] I_k [/mm] gegeben durch [mm] $I_k=[k \pi, [/mm] (k+1) [mm] \pi]$.
[/mm]
"Symmetrisch zur Nulllinie" bedeutet dann wohl, dass für jedes $k [mm] \in \IZ$ [/mm] gilt:
$f(x)=-f(x + [mm] \pi)$ [/mm] für alle $x [mm] \in I_k$.
[/mm]
Gruß FRED
>
> Gruß,
> Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 Mi 21.05.2014 | | Autor: | fred97 |
Hallo Marcel,
mit meiner Interpretation hier
https://matheraum.de/read?i=1022239
habe ich mal gerechnet:
Dass die Fourierkoeffizienten [mm] c_{2k}=0 [/mm] sind sieht man so: für n [mm] \in \IZ:
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2 \pi}{f(x) *e^{-inx}dx}=\integral_{0}^{\pi}{f(x) *e^{-inx}dx}+\integral_{\pi}^{2 \pi}{f(x) *e^{-inx}dx}=-\integral_{0}^{\pi}{f(x+ \pi) *e^{-inx}dx}+\integral_{\pi}^{2 \pi}{f(x) *e^{-inx}dx}
[/mm]
Mit der Substitution [mm] t=x+\pi [/mm] bekommt man:
[mm] \integral_{0}^{\pi}{f(x+ \pi) *e^{-inx}dx}= \integral_{\pi}^{2 \pi}{f(t) *e^{-int}e^{in \pi}dt}
[/mm]
Ist also n gerade, so ist [mm] e^{in \pi}=1, [/mm] somit hat man für gerades n:
[mm] \integral_{0}^{2 \pi}{f(x) *e^{-inx}dx}=- \integral_{\pi}^{2 \pi}{f(t) *e^{-int}dt}+\integral_{\pi}^{2 \pi}{f(x) *e^{-inx}dx}=0.
[/mm]
Gruß FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:02 Mi 21.05.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Hallo Marcel,
>
> mit meiner Interpretation hier
>
> https://matheraum.de/read?i=1022239
>
> habe ich mal gerechnet:
>
> Dass die Fourierkoeffizienten [mm]c_{2k}=0[/mm] sind sieht man so:
> für n [mm]\in \IZ:[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{f(x) *e^{-inx}dx}=\integral_{0}^{\pi}{f(x) *e^{-inx}dx}+\integral_{\pi}^{2 \pi}{f(x) *e^{-inx}dx}=-\integral_{0}^{\pi}{f(x+ \pi) *e^{-inx}dx}+\integral_{\pi}^{2 \pi}{f(x) *e^{-inx}dx}[/mm]
>
> Mit der Substitution [mm]t=x+\pi[/mm] bekommt man:
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{f(x+ \pi) *e^{-inx}dx}= \integral_{\pi}^{2 \pi}{f(t) *e^{-int}e^{in \pi}dt}[/mm]
>
> Ist also n gerade, so ist [mm]e^{in \pi}=1,[/mm] somit hat man für
> gerades n:
>
> [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{f(x) *e^{-inx}dx}=- \integral_{\pi}^{2 \pi}{f(t) *e^{-int}dt}+\integral_{\pi}^{2 \pi}{f(x) *e^{-inx}dx}=0.[/mm]
das sieht doch schonmal sehr gut aus. Ich glaube aber, die Rechnung
hätte ich auch selbst hinbekommen - wirklich entscheidend ist für mich
Deine Interpretation bzw. Definition:
Gegeben ist eine $ 2 [mm] \pi [/mm] $ - periodische Funktion $ f: [mm] \IR \to \IR [/mm] $. Weiter sei für $ k [mm] \in \IZ [/mm] $ das Intervall $ [mm] I_k [/mm] $ gegeben durch $ [mm] I_k=[k \pi, [/mm] (k+1) [mm] \pi] [/mm] $.
"Symmetrisch zur Nulllinie" bedeutet dann wohl, dass für jedes $ k [mm] \in \IZ [/mm] $ gilt:
$ f(x)=-f(x + [mm] \pi) [/mm] $ für alle $ x [mm] \in I_k [/mm] $.
Das ganze werde ich mir noch (wenn auch nicht wirklich notwendig, weil
man ja schnell ein Intervall [mm] $[a,b]\,$ [/mm] bijektiv auf [mm] $[c,d]\,$ [/mm] abbilden kann) etwas
allgemeiner aufschreiben - das, was ich eigentlich merkwürdig bei dieser
Definition finde, ist, dass in dem Begriff "Symmetrie zur Null-Linie" doch
nirgends mit eingeht, dass hier eine gewisse Periodizität zu Grunde liegen
muss - so wäre bspw. [mm] $f(x)=\sin(x)$ [/mm] ja nach obiger Definition eine Funktion,
die "symmetrisch zur Null-Linie" ist, aber [mm] $g(x)=\sin(2x)$ [/mm] eben nicht. Aber [mm] $g\,$
[/mm]
ist ja [mm] $\pi$-periodisch, [/mm] und wenn ich in Deiner Definition einfach [mm] $2\pi$ [/mm] durch
[mm] $\pi$ [/mm] ersetzen würde (und die Intervalle entsprechend anpassen würde),
wäre dann [mm] $g\,$ [/mm] wieder "symmetrisch zur Null-Linie".
Das heißt wohl, dass wir am Besten definieren würden:
"Eine [mm] $T\,$-periodische [/mm] Funktion heißt symmetrisch zur Nullinie, wenn gilt:
..."
Also, wie gesagt:
Bei dem Link war mir nicht ganz klar, dass dort wohl einfach eine [mm] $2\pi$-
[/mm]
Periodizität angenommen wurde. Aber ansonsten habe ich mir das, was
Du sagst, mal kurz skizziert.
(Mir hätte es übrigens gereicht, wenn Du die Bedingung für [mm] "$[0,\pi] \cup [\pi,2\pi]$"
[/mm]
hingeschrieben hättest, der Rest folgt dann ja aus der [mm] $2\pi$-Periodizität!)
[/mm]
Vielen Dank! 
P.S.: Hast Du schonmal nachgeguckt, ob Du in irgendeinem Analysiswerk
eine Definition dieses Begriffes findest? Ich meine, ich finde Deine Definition
super, und irgendwie sollte sowas doch mal festgehalten werden, wenn
die Ingenieure diesen Begriff wie selbstverständlich verwenden, sofern
denn das bisher noch nirgends geschehen ist...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Mi 21.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Hallo Marcel,
> >
> > mit meiner Interpretation hier
> >
> > https://matheraum.de/read?i=1022239
> >
> > habe ich mal gerechnet:
> >
> > Dass die Fourierkoeffizienten [mm]c_{2k}=0[/mm] sind sieht man so:
> > für n [mm]\in \IZ:[/mm]
> >
> > [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{f(x) *e^{-inx}dx}=\integral_{0}^{\pi}{f(x) *e^{-inx}dx}+\integral_{\pi}^{2 \pi}{f(x) *e^{-inx}dx}=-\integral_{0}^{\pi}{f(x+ \pi) *e^{-inx}dx}+\integral_{\pi}^{2 \pi}{f(x) *e^{-inx}dx}[/mm]
>
> >
> > Mit der Substitution [mm]t=x+\pi[/mm] bekommt man:
> >
> > [mm]\integral_{0}^{\pi}{f(x+ \pi) *e^{-inx}dx}= \integral_{\pi}^{2 \pi}{f(t) *e^{-int}e^{in \pi}dt}[/mm]
>
> >
> > Ist also n gerade, so ist [mm]e^{in \pi}=1,[/mm] somit hat man für
> > gerades n:
> >
> > [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{f(x) *e^{-inx}dx}=- \integral_{\pi}^{2 \pi}{f(t) *e^{-int}dt}+\integral_{\pi}^{2 \pi}{f(x) *e^{-inx}dx}=0.[/mm]
>
> das sieht doch schonmal sehr gut aus. Ich glaube aber, die
> Rechnung
> hätte ich auch selbst hinbekommen - wirklich entscheidend
> ist für mich
> Deine Interpretation bzw. Definition:
> Gegeben ist eine [mm]2 \pi[/mm] - periodische Funktion [mm]f: \IR \to \IR [/mm].
> Weiter sei für [mm]k \in \IZ[/mm] das Intervall [mm]I_k[/mm] gegeben durch
> [mm]I_k=[k \pi, (k+1) \pi] [/mm].
>
> "Symmetrisch zur Nulllinie" bedeutet dann wohl, dass für
> jedes [mm]k \in \IZ[/mm] gilt:
>
> [mm]f(x)=-f(x + \pi)[/mm] für alle [mm]x \in I_k [/mm].
>
> Das ganze werde ich mir noch (wenn auch nicht wirklich
> notwendig, weil
> man ja schnell ein Intervall [mm][a,b]\,[/mm] bijektiv auf [mm][c,d]\,[/mm]
> abbilden kann) etwas
> allgemeiner aufschreiben - das, was ich eigentlich
> merkwürdig bei dieser
> Definition finde, ist, dass in dem Begriff "Symmetrie zur
> Null-Linie" doch
> nirgends mit eingeht, dass hier eine gewisse Periodizität
> zu Grunde liegen
> muss - so wäre bspw. [mm]f(x)=\sin(x)[/mm] ja nach obiger
> Definition eine Funktion,
> die "symmetrisch zur Null-Linie" ist, aber [mm]g(x)=\sin(2x)[/mm]
> eben nicht. Aber [mm]g\,[/mm]
> ist ja [mm]\pi[/mm]-periodisch, und wenn ich in Deiner Definition
> einfach [mm]2\pi[/mm] durch
> [mm]\pi[/mm] ersetzen würde (und die Intervalle entsprechend
> anpassen würde),
> wäre dann [mm]g\,[/mm] wieder "symmetrisch zur Null-Linie".
>
> Das heißt wohl, dass wir am Besten definieren würden:
> "Eine [mm]T\,[/mm]-periodische Funktion heißt symmetrisch zur
> Nullinie, wenn gilt:
> ..."
>
> Also, wie gesagt:
> Bei dem Link war mir nicht ganz klar, dass dort wohl
> einfach eine [mm]2\pi[/mm]-
> Periodizität angenommen wurde. Aber ansonsten habe ich
> mir das, was
> Du sagst, mal kurz skizziert.
> (Mir hätte es übrigens gereicht, wenn Du die Bedingung
> für "[mm][0,\pi] \cup [\pi,2\pi][/mm]"
> hingeschrieben hättest,
> der Rest folgt dann ja aus der [mm]2\pi[/mm]-Periodizität!)
>
> Vielen Dank!
>
> P.S.: Hast Du schonmal nachgeguckt, ob Du in irgendeinem
> Analysiswerk
> eine Definition dieses Begriffes findest?
Nee, "Symmetrisch zur Nulllinie" hab ich noch nie gehört , noch nie gelesen (bis auf heute) und noch nie gesehen.
Gruß FRED
> Ich meine, ich
> finde Deine Definition
> super, und irgendwie sollte sowas doch mal festgehalten
> werden, wenn
> die Ingenieure diesen Begriff wie selbstverständlich
> verwenden, sofern
> denn das bisher noch nirgends geschehen ist...
>
> Gruß,
> Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 02:09 Do 22.05.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi Fred,
> Hallo Marcel,
>
> mit meiner Interpretation hier
>
> https://matheraum.de/read?i=1022239
>
> habe ich mal gerechnet:
>
> Dass die Fourierkoeffizienten [mm]c_{2k}=0[/mm] sind sieht man so:
> für n [mm]\in \IZ:[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{f(x) *e^{-inx}dx}=\integral_{0}^{\pi}{f(x) *e^{-inx}dx}+\integral_{\pi}^{2 \pi}{f(x) *e^{-inx}dx}=-\integral_{0}^{\pi}{f(x+ \pi) *e^{-inx}dx}+\integral_{\pi}^{2 \pi}{f(x) *e^{-inx}dx}[/mm]
>
> Mit der Substitution [mm]t=x+\pi[/mm] bekommt man:
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{f(x+ \pi) *e^{-inx}dx}= \integral_{\pi}^{2 \pi}{f(t) *e^{-int}e^{in \pi}dt}[/mm]
>
> Ist also n gerade, so ist [mm]e^{in \pi}=1,[/mm] somit hat man für
> gerades n:
>
> [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{f(x) *e^{-inx}dx}=- \integral_{\pi}^{2 \pi}{f(t) *e^{-int}dt}+\integral_{\pi}^{2 \pi}{f(x) *e^{-inx}dx}=0.[/mm]
rechnerisch ist das natürlich einwandfrei. Ich habe mir aber überlegt, dass
man da durchaus auch anders zum Ziel kommt:
Wir betrachten [mm] $f\,$ [/mm] im Folgenden o.E. auf [mm] $[0,2\pi]\,,$ [/mm] bzw. $x [mm] \in [0,\pi]\,.$
[/mm]
1. Ist [mm] $f\,$ ($2\pi$-periodisch [/mm] und) symmetrisch zur Nulllinie, so folgt
[mm] $\int_0^{2\pi}f(x)dx=\int_0^\pi f(x)dx+\int_{\pi}^{2\pi}f(x)dx=\int_0^\pi f(x)dx+\int_{0}^{\pi}f(\pi+x)dx=\int_{0}^\pi (f(x)-f(x))dx=0\,.$
[/mm]
2. Für jedes $n [mm] \in \IZ$ [/mm] ist dann auch
$x [mm] \mapsto f(x)*\sin(2nx)$
[/mm]
[mm] ($2\pi$-periodisch [/mm] und) symmetrisch zur Nullinie:
Es gilt dann nämlich für $x [mm] \in [0,\pi]$
[/mm]
[mm] $(x+\pi) \mapsto f(x+\pi)\sin(2n(x+\pi))=-f(x)(\sin(2nx)\cos(2n\pi)+\cos(2nx)\sin(2n\pi))=-f(x)*\sin(2nx)$
[/mm]
Daraus folgt
[mm] $\int_0^{2\pi} f(x)\sin(2nx)dx=0\,.$
[/mm]
3. Gleiches gilt für
$x [mm] \mapsto [/mm] f(x) [mm] \cos(2nx)\,,$
[/mm]
denn:
[mm] $(x+\pi) \mapsto f(x+\pi)*(\cos(2nx)\cos(2n\pi)-\sin(2nx)\sin(2n\pi))=-f(x)*\cos(2nx)$
[/mm]
Da die reellen F.K. bei geraden $n [mm] \in \IZ$ [/mm] somit Null sind, sind es auch
die komplexen (dafür kann man schnell den Zshg. nachschlagen oder sich
diesen selbst kurz überlegen).
P.S. Ich habe das jetzt nur ergänzt, weil: Gerade für Ingenieure ist es
doch gut, dass, wenn sie am Graphen einer Funktion etwas sehen, sie
dann direkt etwas über bestimmte Integrale sagen können. Und das
Schöne hier ist:
Deine Definition von "Symmetrie zur Nulllinie (einer [mm] $2\pi$-periodischen
[/mm]
Funktion)" kann man sich schnell veranschaulichen, und eigentlich direkt
den Punkt 1. von oben auch "nur mit Hinguck-Argumenten" klarmachen.
Ich hab's halt lieber auch mal gerechnet, einfach nur, damit es auch mal
gemacht wurde.
Und das restliche folgt dann, wenn man überprüft hat, dass bei den
(reellen) F.K. im Integranden immer eine "zur Nulllinie symmetrische
Funktion" steht. Das Ganze stelle ich auch nur als Frage, damit nochmal
drübergeguckt wird, ob ich keinen Patzer gemacht habe...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Sa 24.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
