Symmetrieebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:29 Do 24.09.2009 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | A = [mm] \vektor{6 \\ 2 \\ 8} [/mm] B = [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ 2}
[/mm]
Berechne die Gleichung der Symmetrieebene in der Normalform.
Berechne die Schnittgerade. |
Hallo,
ich habe obige Aufgabe und keine wirkliche Vorstellung wie ich das berechnen soll.
Was ist eine Symmetrieebene? Ist das so ähnlich wie bei einer Winkelsymmetrale, wenn ich zwei gleich lange Vektoren addiere, der neu entstandene Vektor ist hierbei ja die Winkelsymmetrale.
Wie kann ich mir das bei einer Symmetrieebene bildlich vorstellen und wie kann ich die Aufgabe berechnen?
Danke...
|
|
| |
|
> A = [mm]\vektor{6 \\ 2 \\ 8}[/mm] B = [mm]\vektor{3 \\ 4 \\ 2}[/mm]
>
> Berechne die Gleichung der Symmetrieebene in der
> Normalform.
> Berechne die Schnittgerade.
> Hallo,
>
> ich habe obige Aufgabe und keine wirkliche Vorstellung wie
> ich das berechnen soll.
> Was ist eine Symmetrieebene? Ist das so ähnlich wie bei
> einer Winkelsymmetrale, wenn ich zwei gleich lange Vektoren
> addiere, der neu entstandene Vektor ist hierbei ja die
> Winkelsymmetrale.
> Wie kann ich mir das bei einer Symmetrieebene bildlich
> vorstellen und wie kann ich die Aufgabe berechnen?
>
> Danke...
Hallo Andi,
zunächst dachte ich, dass mit A und B die Ortsvek-
toren zweier Punkte gemeint seien. Dann wäre mit
"Symmetrieebene" wohl die Mittelnormalebene der
Strecke [mm] \overline{AB} [/mm] gemeint. Allerdings wäre dies nur
eine von [mm] \infty [/mm] vielen Symmetrieebenen der Strecke.
Vielleicht ist also doch etwas anderes gemeint.
Da die Vektoren A und B aber ungleich lang sind,
sehe ich da überhaupt keine Symmetrie. Sollten
winkelhalbierende Ebenen gemeint sein, ist jeden-
falls die Aufgabenstellung schwer zu beanstanden.
Hast du den genauen Aufgabentext angegeben ?
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Do 24.09.2009 | | Autor: | drahmas |
Hi Al-Chw.
gemeint sind zwei Punkte, also die o.g. Ortsvektoren.
Daraus ergibt sich, wie von Dir zunächst angenommen, eine Strecke [mm] \overline{AB}. [/mm] Von dieser sollte offenbar der Mittelpunkt errechnet werden. So weit hab ich das noch im Kopf. Es wäre also quasi [mm] \bruch{1}{2}*(A+B)
[/mm]
Ich hatte diese Aufgabe in einem Test uns hab sie aus dem Kopf "rekonstruiert", daher hab ich bei den Vektoren oben nur beliebige Zahlen eingesetzt. Da es ja aber um eine Strecke geht, sollte das (hoffentlich) keine Rolle spielen.
Am Mittelpunkt der Strecke [mm] \overline{AB} [/mm] sollte nun irgendwie diese Symmetrieebene sein. Ob die da nun quer durchgeht oder senkrecht oder wie auch immer steht, kann ich mir leider nicht wirklich vorstellen. Mein Lehrer hielt sich mit Auskünften leider sehr bedeckt, daher muss ich mir das irgendwie so beibringen und vor allem auch bildlich vorstellen können, meinte er.
Vielen Dank, Andi
|
|
|
| |
|
Hallo Andi!
Du hast doch mit dem Mittelpunkt der gegebenen Strecke sowie dem Vektor [mm] $\overrightarrow{AB}$ [/mm] sowohl einen Punkt als auch einen Normalenvektor der gesuchten Ebene gegeben.
Nun einsetzen in die Normalenform:
$$E \ : \ [mm] \vec{n}*\left[ \ \vec{x}-\vec{p} \ \right] [/mm] \ = \ 0$$
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Do 24.09.2009 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
ich rechne also:
[mm] B=\vektor{3 \\ 4 \\ 2}-A=\vektor{6 \\ 2 \\ 8} [/mm] und erhalte [mm] \overline{AB}=\vektor{-3 \\ 2 \\ -6} \Rightarrow [/mm] M = [mm] \bruch{1}{2}*\vektor{-3 \\ 2 \\ -6}=\vektor{-1,5 \\ 1 \\ -3}
[/mm]
[mm] \vektor{-1,5 \\ 1 \\ -3} [/mm] ist also sowohl Mittelpunkt von [mm] \overline{AB}, [/mm] als auch ein Normalvektor (Richtungsvektor?) der Ebene.
Was ist jedoch dann mit [mm] \vec{x} [/mm] und [mm] \vec{p} [/mm] in der Formel? Könnte [mm] \vec{p} [/mm] einer der gegebenen Punkte sein, z.B. [mm] A=\vektor{6 \\ 2 \\ 8}? [/mm] Bleibt [mm] \vec{x} [/mm] als beliebiger Punkt in der Gleichung als Variable stehen?
Danke und beste Grüße, Andi
|
|
|
| |
|
Hallo drahmas,
> Hallo,
>
> ich rechne also:
>
> [mm]B=\vektor{3 \\ 4 \\ 2}-A=\vektor{6 \\ 2 \\ 8}[/mm] und erhalte
> [mm]\overline{AB}=\vektor{-3 \\ 2 \\ -6} \Rightarrow[/mm] M =
> [mm]\bruch{1}{2}*\vektor{-3 \\ 2 \\ -6}=\vektor{-1,5 \\ 1 \\ -3}[/mm]
>
> [mm]\vektor{-1,5 \\ 1 \\ -3}[/mm] ist also sowohl Mittelpunkt von
> [mm]\overline{AB},[/mm] als auch ein Normalvektor (Richtungsvektor?)
> der Ebene.
nein, M ist (nur) der Mittelpunkt der Strecke [mm] \overline{AB},
[/mm]
aber: der Vektor [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] ist ein Normalenvektor der gesuchten Ebene.
> Was ist jedoch dann mit [mm]\vec{x}[/mm] und [mm]\vec{p}[/mm] in der Formel?
> Könnte [mm]\vec{p}[/mm] einer der gegebenen Punkte sein, z.B.
> [mm]A=\vektor{6 \\ 2 \\ 8}?[/mm] Bleibt [mm]\vec{x}[/mm] als beliebiger Punkt
> in der Gleichung als Variable stehen?
>
> Danke und beste Grüße, Andi
Gruß informix
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> ich rechne also:
>
> [mm]B=\vektor{3 \\ 4 \\ 2}-A=\vektor{6 \\ 2 \\ 8}[/mm] und erhalte
> [mm]\overline{AB}=\vektor{-3 \\ 2 \\ -6} \Rightarrow\ \ M = \bruch{1}{2}*\vektor{-3 \\ 2 \\ -6}=\vektor{-1,5 \\ 1 \\ -3}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> [mm]\vektor{-1,5 \\ 1 \\ -3}[/mm] ist also sowohl Mittelpunkt von
> [mm]\overline{AB},[/mm] als auch ein Normalvektor (Richtungsvektor?)
> der Ebene.
> Was ist jedoch dann mit [mm]\vec{x}[/mm] und [mm]\vec{p}[/mm] in der Formel?
> Könnte [mm]\vec{p}[/mm] einer der gegebenen Punkte sein, z.B.
> [mm]A=\vektor{6 \\ 2 \\ 8}?[/mm] Bleibt [mm]\vec{x}[/mm] als beliebiger Punkt
> in der Gleichung als Variable stehen?
>
> Danke und beste Grüße, Andi
Hallo Andi,
Du hast den Punkt M falsch berechnet. Früher
hast du einmal die richtige Formel zur Berechnung
von M angegeben.
Jetzt hast du statt M den Vektor [mm] \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} [/mm] angegeben.
Um M zu bekommen müsstest du diesen zum Ortsvektor
von A addieren.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Fr 25.09.2009 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
alles klar, das war ein Denkfehler mit dem Mittelpunkt.
Wenn ich [mm] \overrightarrow{0A} [/mm] addiere, habe ich für den Mittelpunkt [mm] \vektor{4,5 \\ 3 \\ 5} [/mm] als Ergebnis.
Ist das nun der Richtungsvektor (ein Normalvektor) der Ebene?
So müsste es heißen: [mm] \varepsilon: \vektor{4,5 \\ 3 \\ 5}*(\overrightarrow{X}-\vektor{6 \\ 2 \\ 8})=0
[/mm]
Als festen Punkt [mm] \overrightarrow{P} [/mm] habe ich den gegebenen Punkt A, eingesetzt.
Ich blicke da irgendwie überhaupt nicht durch. Was ist mit [mm] \overrightarrow{X}? [/mm]
Beste Grüße...
|
|
|
| |
|
Hallo!
> alles klar, das war ein Denkfehler mit dem Mittelpunkt.
> Wenn ich [mm]\overrightarrow{0A}[/mm] addiere, habe ich für den
> Mittelpunkt [mm]\vektor{4,5 \\ 3 \\ 5}[/mm] als Ergebnis.
>
> Ist das nun der Richtungsvektor (ein Normalvektor) der
> Ebene?
>
> So müsste es heißen: [mm]\varepsilon: \vektor{4,5 \\ 3 \\ 5}*(\overrightarrow{X}-\vektor{6 \\ 2 \\ 8})=0[/mm]
Leider hast du deine Erkenntnisse falsch in die Formel eingesetzt.
Hier nochmal ein Bild zur Sachlage:
[Dateianhang nicht öffentlich]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Wir wissen: Damit wir eine Ebenengleichung aufstellen können, brauchen wir einen Punkt M, der in der Ebene liegt, und einen Normalenvektor \vec{n} der Ebene, d.h. einen Vektor, der senkrechte zur Ebene steht.
Dann können wir eine Ebenengleichung der Form
$(\vec{OX}-\vec{OM})\circ \vec{n} = 0$
aufstellen.
Am obigen Bild kann man sehr gut erkennen, dass der Mittelpunkt der Strecke AB, also M, in der Ebene liegt. Du hast nun den Punkt schon richtig berechnet:
$\vec{OM} = \vec{OA} + \frac{1}{2}*\vec{AB} = \vektor{6\\2\\8} + \frac{1}{2}*\vektor{-3\\2\\-6} = \vektor{4.5\\3\\5}$
So, nun noch der Normalenvektor. Wie man am Bild gut sehen kann, muss natürlich die Geraden, welche die Punkte A und B verbindet, senkrecht zur gesuchten Ebene stehen, weil die Ebene ja eine Symmetrieebene für diese beiden Punkte sein soll.
Also ist $\vec{n} = \vec{AB} = \vektor{-3\\2\\-6}$ ein möglicher Normalenvektor der gesuchten Ebene.
Nun können wir die Ebenengleichung aufstellen:
$(\vec{OX}-\vec{OM})\circ \vec{n} = 0$
$\left(\vec{OX}-\vektor{4.5\\3\\5}}\right)\circ \vektor{-3\\2\\-6} = 0$
Nun hast du dich noch gefragt, was das mit dem \vec{X} in der Ebenengleichung eigentlich soll. Nun, diese Art der Ebenengleichung (man nennt sie "Normalform") ist nicht so wie die Parameterform aufgebaut, dass man einfach bestimmte Parameter einsetzt und dann Punkte erhält, die auf der Ebene liegen.
Die obige Form sagt, dass jeder Ortsvektor $\vec{OX}$ in der Ebene liegt, der die obige Gleichung erfüllt. Du kannst ja mal prüfen, ob zum Beispiel der Punkt A in der Ebene liegt, indem du ihn für $\vec{OX}$ einsetzt - du wirst feststellen, dass links nicht 0 rauskommt, also die Gleichung nicht stimmt, also der Punkt nicht in der Ebene liegt.
Grüße,
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:06 Fr 25.09.2009 | | Autor: | drahmas |
Hallo Stefan,
auch Dir vielen Dank für diese sehr ausführliche Antwort und die Grafik.
Das hilft mir sehr gut weiter.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Fr 25.09.2009 | | Autor: | drahmas |
...eine Frage fällt mir doch noch ein: ist eine Ebene eigentlich (grundsätzlich) durch Punkte begrenzt, oder quasi wie eine Gerade unendlich in alle Richtungen?
|
|
|
| |
|
> ...eine Frage fällt mir doch noch ein: ist eine Ebene
> eigentlich (grundsätzlich) durch Punkte begrenzt, oder
> quasi wie eine Gerade unendlich in alle Richtungen?
Hallo,
letzteres. Eine unendlich große, unendlich dünne Tischplatte...
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Fr 25.09.2009 | | Autor: | drahmas |
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Danke
|
|
|
|
