Sym. Grp., Permutation und sgn < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei U [mm] \subset S_4 [/mm] eine Untergrp. der [mm] S_4 [/mm] mit acht Elementen.
a) Besitzt U ein Element u mit der Eigenschaft, dass sgn(u)=1?
b) Besitzt U ein Element u mit der Eigenschaft, dass sgn(u)=-1? |
Hallo,
ich versuche mich gerade an dieser Aufg. doch leider komme ich nicht voran...
ich habe jetzt mal das Signum aufgeschrieben:
sgn(u)= [mm] \bruch{u(1)-u(2)}{1-2} [/mm] * [mm] \bruch{u(1)-u(3)}{1-3} [/mm] * [mm] \bruch{u(1)-u(4)}{1-4} [/mm] * [mm] \bruch{u(2)-u(3)}{2-3} [/mm] * [mm] \bruch{u(2)-u(4)}{2-4} [/mm] * [mm] \bruch{u(3)-u(4)}{3-4}
[/mm]
Dann sieht man leicht, das negative Vorzeichen wird im Zähler entschieden, jetzt frage ich mich aber was denn hier gegen oder für einen Fehlstand sprechen könnte...hat jemand einen Tipp für mich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Mo 16.07.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
also ich verstehe deine Notation nicht (hab die Frage auch noch nicht als beantwortet markiert) aber du kannst dir ja mal überlegen, wie eine Untergruppe der Ordnung 8 in [mm] S_4 [/mm] konkret ausschaut. Und dann guck dir die Elemente an, dann siehst du sofort ob es entsprechende Elemente gibt.
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:28 Mo 16.07.2012 | | Autor: | wieschoo |
Welche Notation ist unverständlich?
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moin,
> Sei U [mm]\subset S_4[/mm] eine Untergrp. der [mm]S_4[/mm] mit acht
> Elementen.
Was ist denn nun U? Ne Idee?
>
> a) Besitzt U ein Element u mit der Eigenschaft, dass
> sgn(u)=1?
>
> b) Besitzt U ein Element u mit der Eigenschaft, dass
> sgn(u)=-1?
> Hallo,
>
> ich versuche mich gerade an dieser Aufg. doch leider komme
> ich nicht voran...
>
> ich habe jetzt mal das Signum aufgeschrieben:
>
> sgn(u)= [mm]\bruch{u(1)-u(2)}{1-2}[/mm] * [mm]\bruch{u(1)-u(3)}{1-3}[/mm] *
> [mm]\bruch{u(1)-u(4)}{1-4}[/mm] * [mm]\bruch{u(2)-u(3)}{2-3}[/mm] *
> [mm]\bruch{u(2)-u(4)}{2-4}[/mm] * [mm]\bruch{u(3)-u(4)}{3-4}[/mm]
Genau das Vorzeichen ist per Definition das Produkt aller Fehlstände.
>
> Dann sieht man leicht, das negative Vorzeichen wird im
> Zähler entschieden, jetzt frage ich mich aber was denn
> hier gegen oder für einen Fehlstand sprechen könnte...hat
> jemand einen Tipp für mich?
Die Aufgabe möchte von dir wissen, ob es ein Element mit dem jeweiligen Vorzeichen gibt. Dazu bräuchtest du sofern ein solches Element existiert nur ein solches angeben.
Dazu muss man U bestimmen, wie teo schrieb. Ich wüsste nicht, wie es geht ohne U zu bestimmen. Vielleicht gibt es da einen Trick.
Falls du die Sylowsätze kennst, dann weißt du dass eine Untergruppe mit 8 Elementen 2-Sylow-Ugr. von S4 sind. Also sind alle dieser Sorte konjugiert und isomorph zueinander. Das ist schon einmal toll, da du nur eine dieser Untergruppen betrachten musst.
Desweiteren gibt es entweder 1 oder 3 Ugr der Ordnung 8.
Unabhängig ob du U bestimmen kannst, muss es mindestens ein VZ in der Untergruppe U geben, da das neutrale Element so ziemlich in jeder Gruppe liegt.
gruß
wieschoo
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also das verstehe ich:
U besitzt acht Elemente [mm] \Rightarrow [/mm] sei u [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] ord(u)|8
somit ord(u)=1 oder ord(u)=2 oder ord(u)=4 oder ord(u)=8
ord(u)=1 [mm] \Rightarrow [/mm] u=e [mm] \Rightarrow [/mm] sgn(e)=1 [mm] \Rightarrow [/mm] U besitzt ein solches Element u
Richtig?
Leider kann ich mit den Sylowsätzen nichts anfangen. Ich verstehe nicht, wie ich U bestimmen kann.
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Zu allererst möchte ich dich auf den Beitrag von Schadowmaster aufmerksam machen.
Du musst doch nicht U bestimmen.
Wenn du es trotzdem machen möchtest, dann geht das systematisch.
Die einzelnen Elemente von S4 erzeugen zyklische Untergruppen.
Man muss sich überlegen, dass eine Untergruppe der Ordnung 8 stets einen 4-Zykel beinhaltet.
Eine mögliche Untergruppe ist [mm] $\langle (1234),(24)\rangle [/mm] $. Hier hilft ein gutes Algebrabuch weiter.
Probier aber lieber den Ansatz von Schadowmaster mittels dem Ansatz der alternierenden Untergruppe A4 und dem Satz von Lagrange.
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Falls du die Aufgabe lösen möchtest, ohne $U$ zu berechnen:
Ein Element, das Signum 1 hat, sollte klar sein, denn die Identität liegt in jeder Untergruppe.
Für ein Element mit Signum -1 nehmen wir einfach mal an ein solches existiere nicht.
Dann haben alle Elemente in $U$ Signum 1, $U$ wäre also eine Untergruppe der [mm] $A_4$. [/mm] Falls du diese schon kennst dann weißt du auch wie viele Elemente sie hat und kannst dir daraus recht schnell einen Widerspruch zur Annahme basteln, dass $U$ eine Untergruppe der [mm] $A_4$ [/mm] sei.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 Di 17.07.2012 | | Autor: | wieschoo |
Na klar!
Bei mir hat gestern Abend die 8 noch die 12 geteilt.
Ich müsste das mit dem Teilen von natürlichen Zahlen noch einmal üben.
gruß
wieschoo
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