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Sym. Grp., Permutation und sgn: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:09 So 27.05.2012
Autor: Big_Head78

Aufgabe
Sei [mm] \sigma \in S_{n} [/mm] mit [mm] sgn(\sigma)=-1. [/mm] Beweisen sie, dass die Ordnung von [mm] \sigma [/mm] eine gerade Zahl ist.

Gilt die Umkehrung dieser Aussage?

Hallo und schöne Pfingsten,

also der zweite Teil lässt sich ja leicht durch ein Gegenbsp. erledigen...

Und beim ersten Teil habe ich mir überlegt, dass ein einziger Fehlstand, also eine Vertauschung von zwei Zahlen doch schon dafür sorgt, dass die Ordnung [mm] ord(\sigma)=2*... [/mm] lautet und somit eine gerade Zahl ist, oder?
Und min. eine Vertauschung sorgt ja dann auch für [mm] sgn(\sigma)=-1, [/mm] oder?
Damit sieht man dann ja auch schon hier, dass die andere Richtung nicht funktioniert, oder?

Denke ich da schon in die richtige Richtung oder liege ich völlig daneben?

        
Bezug
Sym. Grp., Permutation und sgn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:50 So 27.05.2012
Autor: wieschoo

Hi,

> Sei [mm]\sigma \in S_{n}[/mm] mit [mm]sgn(\sigma)=-1.[/mm] Beweisen sie, dass
> die Ordnung von [mm]\sigma[/mm] eine gerade Zahl ist.
>  
> Gilt die Umkehrung dieser Aussage?
>  Hallo und schöne Pfingsten,
>
> also der zweite Teil lässt sich ja leicht durch ein
> Gegenbsp. erledigen...
>  
> Und beim ersten Teil habe ich mir überlegt, dass ein
> einziger Fehlstand, also eine Vertauschung von zwei Zahlen
> doch schon dafür sorgt, dass die Ordnung [mm]ord(\sigma)=2*...[/mm]
> lautet und somit eine gerade Zahl ist, oder?
>  Und min. eine Vertauschung sorgt ja dann auch für
> [mm]sgn(\sigma)=-1,[/mm] oder?

machs nicht so kompliziert;-)
Die Abbildung [mm] $\operatorname{sgn}:G\to\{-1,1\},\quad \tau \mapsto \operatorname{sgn}(\tau)$ [/mm] ist ein HM und welches Vorzeichen hat [mm] $\sigma^k$, [/mm] wenn k ist die Ordnung von [mm] $\sigma$ [/mm] ist.

gruß
wieschoo

>  Damit sieht man dann ja auch schon hier, dass die andere
> Richtung nicht funktioniert, oder?
>  
> Denke ich da schon in die richtige Richtung oder liege ich
> völlig daneben?


Bezug
                
Bezug
Sym. Grp., Permutation und sgn: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:07 So 27.05.2012
Autor: Big_Head78

Das verstehe ich gerade leider gar nicht, kann mir das nochmal etwas genauer erklärt werden?

Bezug
                        
Bezug
Sym. Grp., Permutation und sgn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:18 So 27.05.2012
Autor: wieschoo

Sei [mm]\sigma \in S_n[/mm] mit Ordnung k, d.h. [mm]\sigma^k=e[/mm].
z.z. k ist gerade

Beweis:
du weißt
[mm]1=sgn(e)=\blue{sgn(\sigma^k)}[/mm]

Und des Weiteren gilt [mm]\green{sgn(ab)=sgn(a)*sgn(b)}[/mm] für [mm]a,b\in S_n[/mm]. Wie kannst du [mm]\blue{sgn(\sigma^k)}[/mm] also noch schreiben? Anders gefragt: Wie sieht [mm] $\green{sgn(ab)=sgn(a)*sgn(b)}$ [/mm] für a=b aus?

Bezug
                                
Bezug
Sym. Grp., Permutation und sgn: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:15 Mo 28.05.2012
Autor: Big_Head78

Ok danke, ich habe das dann mal etwas weiter ausformuliert:

1= [mm] sgn(e)=sgn(\sigma^k)=sgn(\sigma)*...*sgn(\sigma)=sgn(\sigma)^k=(-1)^k [/mm]

[mm] 1=(-1)^k \gdw [/mm] k ist gerade

Stimmt das so?


Bezug
                                        
Bezug
Sym. Grp., Permutation und sgn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:31 Mo 28.05.2012
Autor: wieschoo

So passt es.

Schönen Feiertag
wieschoo

Bezug
                                                
Bezug
Sym. Grp., Permutation und sgn: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:35 Mo 28.05.2012
Autor: Big_Head78

Jo super, nach der Vorarbeit aber auch nicht mehr schwer...
Danke und auch noch einen schönen Tag. :)

Bezug
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