Sylowgruppe - Beispiel < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Mo 13.10.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo liebe Mathefreunde
Ich habe hier folgende schon gelöste Aufgabe. Allerdings kann ich einiges nicht nachvollziehen. Könnt ihr mir die einzelnen Schritte, die ich nicht verstehe, erklären? Wäre euch echt sehr dankbar.
> G sei eine Gruppe der Ordnung |G|=105=3*5*7.
> Der dritte Sylowsatz gibt:
> A(3,1) [mm] \equiv [/mm] 1 mod 3 , A(3,1)|35, [mm] \Rightarrow [/mm] A(3,1) [mm] \in [/mm] {1,7}
> A(5,1) [mm] \equiv [/mm] 1 mod 5 , A(5,1)|21, [mm] \Rightarrow [/mm] A(5,1) [mm] \in [/mm] {1,21}
> A(7,1) [mm] \equiv [/mm] 1 mod 7 , A(7,1)|15, [mm] \Rightarrow [/mm] A(7,1) [mm] \in [/mm] {1,15}
A(p,s) ist hier die Anzahl der Untergruppen von G der Ordnung [mm] p^{s}, [/mm] mit p Primzahl, [mm] |G|=p^{r}*m, 0\le [/mm] s [mm] \le [/mm] r.
Wie komme ich jeweils auf die 3.Aussage? Woher weiß ich, aus welchem Element A(p,s) ist.
> Beh:: Tatsächlich ist mind. eine der 3 Zahlren A(3,1), A(5,1), A(7,1) gleich 1.
> Annahme: A(3,1)=7, A(5,1)=21, A(7,1)=15. Die 7 zyklischen Untergruppen der Ordnung 3 sind bis auf das Einselement paarweise disjunkt. Also gibt es in G 7*2 = 14 Elemente der Ordnung 3. Analog: 21*4=84 Elemente der Ordnung 5 und 15*6=90 Elemente der Ordnung 7.
Wie erhalte ich die Anzahl der Elemente der verschiedenen Ordnungen?
> ABER 1+14+84+90>105 [mm] \Rightarrow [/mm] Widerspruch [mm] \Rightarrow [/mm] Annahme falsch
> Also hat man zu mindestens einer der Ordnungen 3 oder 5 oder7 nur eine Untergruppe. Die muss ein Normalteiler sein, da sie die einzige Gruppe ihrer Ordnung ist. Also hat die Gruppe G einen nichttrivialen Normalteiler.
Die Schlussfolgerung ist mir auch noch nicht so ganz klar.
Ich soll nun anhand von diesem Bsp.zeigen, dass die Gruppe der Ordnung 40 einen nichttrivialen NOrmalteiler besitzt und komme da leider nicht weiter, weil ich das Besipiel noch nicht ganz verstehe ... :-(
Danke schon mal im Voraus,
Lg Kittycat
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:02 Di 14.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo kittycat!
> Hallo liebe Mathefreunde
>
> Ich habe hier folgende schon gelöste Aufgabe. Allerdings
> kann ich einiges nicht nachvollziehen. Könnt ihr mir die
> einzelnen Schritte, die ich nicht verstehe, erklären? Wäre
> euch echt sehr dankbar.
>
> > G sei eine Gruppe der Ordnung |G|=105=3*5*7.
>
> > Der dritte Sylowsatz gibt:
> > [mm]A(3,1) \equiv 1 \bmod 3[/mm], [mm]A(3,1)\mid35[/mm], [mm]\Rightarrow A(3,1) \in \{1,7\}[/mm]
> > [mm]A(5,1) \equiv 1 \bmod 5[/mm], [mm]A(5,1)\mid21[/mm], [mm]\Rightarrow A(5,1) \in \{1,21\}[/mm]
> > [mm]A(7,1) \equiv 1 \bmod 7[/mm], [mm]A(7,1)\mid15[/mm], [mm]\Rightarrow A(7,1) \in \{1,15\}[/mm]
>
> A(p,s) ist hier die Anzahl der Untergruppen von G der
> Ordnung [mm]p^{s},[/mm] mit p Primzahl, [mm]|G|=p^{r}*m, 0\le[/mm] s [mm]\le[/mm] r.
>
> Wie komme ich jeweils auf die 3.Aussage? Woher weiß ich,
> aus welchem Element A(p,s) ist.
Es ist nur die Kombination der beiden Aussagen, zum Beispiel folgt in der ersten Zeile aus [mm]A(3,1)\mid35[/mm], dass [mm] $A(3,1)\in\{1,5,7,35\}$ [/mm] ist. Welche dieser vier Zahlen erfüllen die Bedingung [mm]A(3,1) \equiv 1 \bmod 3[/mm]?
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:28 Di 14.10.2008 | | Autor: | statler |
Hallo kittycat!
> > Beh:: Tatsächlich ist mind. eine der 3 Zahlen A(3,1),
> A(5,1), A(7,1) gleich 1.
> > Annahme: A(3,1)=7, A(5,1)=21, A(7,1)=15. Die 7
> zyklischen Untergruppen der Ordnung 3 sind bis auf das
> Einselement paarweise disjunkt. Also gibt es in G 7*2 = 14
> Elemente der Ordnung 3. Analog: 21*4=84 Elemente der
> Ordnung 5 und 15*6=90 Elemente der Ordnung 7.
>
> Wie erhalte ich die Anzahl der Elemente der verschiedenen
> Ordnungen?
In einer Gruppe der Ordnung p mit p prim hast du 1 Element der Ordnung 1 und p-1 Elemente der Ordnung p. 2 Untergruppen der Ordnung p sind gleich oder haben als Durchschnitt die triviale Gruppe wegen des Satzes von Cayley (Ordnung einer Untergruppe teilt Gruppenordnung). Damit kannst du die Elemente zählen.
> > ABER 1+14+84+90>105 [mm]\Rightarrow[/mm] Widerspruch [mm]\Rightarrow[/mm]
> Annahme falsch
>
> > Also hat man zu mindestens einer der Ordnungen 3 oder 5
> oder7 nur eine Untergruppe. Die muss ein Normalteiler sein,
> da sie die einzige Gruppe ihrer Ordnung ist. Also hat die
> Gruppe G einen nichttrivialen Normalteiler.
>
> Die Schlussfolgerung ist mir auch noch nicht so ganz klar.
Die konjugierte einer p-Sylow-Gruppe ist wieder eine p-Sylow-Gruppe, wenn es nur 1 gibt, sind alle konjugierten gleich, also ist sie normal.
> Ich soll nun anhand von diesem Bsp.zeigen, dass die Gruppe
> der Ordnung 40 einen nichttrivialen NOrmalteiler besitzt
> und komme da leider nicht weiter, weil ich das Besipiel
> noch nicht ganz verstehe ... :-(
Es gibt mehrere Gruppen der Ordnung 40, also muß es ...eine Gruppe der Ordnung... heißen. Welche p-Sylow-Gruppen gibt es hier, welche Anzahlen sind möglich? Gleiches Verfahren wie oben.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Di 14.10.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Dieter, hallo Rainer!
Vielen, vielen Dank für eure Erklärungen. Nun ist es mir klar, was dies alles bedeutet.
Habe jetzt folgende Aufgabe versucht folgendermaßen zu lösen:
"Zeigen Sie, dass jede Gruppe der Ordnung 40 einen nichttrivialen (d.h. [mm] \not= [/mm] {e} und [mm] \not= [/mm] G) Normalteiler besitzt."
[mm] |G|=40=2^{3}*5
[/mm]
m=5, p=2, r=3
[mm] \Rightarrow [/mm] mögliche Ordnungen: 2,4,8,5
Anzahl der Untergruppen von G der Ordnung [mm] p^{s}:
[/mm]
A(2,1)=1 mod 2 , A(2,1)|20 [mm] \Rightarrow [/mm] A(2,1) [mm] \in [/mm] {1,5}
A(4,1)=1 mod 4 , A(4,1)|10 [mm] \Rightarrow [/mm] A(4,1) [mm] \in [/mm] {1,5}
A(4,2)=2 mod 4 , A(4,2)|10 [mm] \Rightarrow [/mm] A(4,2) [mm] \in [/mm] {1,10}
A(5,3)=3 mod 5 , A(5,3)|80 [mm] \Rightarrow [/mm] A(5,3) [mm] \in [/mm] {1,8}
Beh: Tatsächlich ist mindestenseine der 4 Zahlen A(2,1), A(4,1), A(4,2), A(5,3) gleich 1.
Annahme: A(2,1)=5, A(4,1)=5, A(4,2)=10, A(5,3)=8.
Die 5 zyklischen Untergruppen der Ordnung 2 sidn bis auf Einselement paarweise disjunkt.
Es gib in G
- 5*1=5 Elemente der Ordnung 2
- 5*3=15 Elemente der Ordnung 4
- 10*3=30 Elemente der Ordnung 4 (*Sind das dann insgesamt 45 Elemente der Ordnung 4???*)
- 8*4=32 Elemente der Ordnung 5
Insgesamt 1+5+32+15+30 >40 Elemente. [mm] \Rightarrow [/mm] Widerspruch
[mm] \Rightarrow [/mm] Annahme falsch
Also hat man zu mindestens einer der Ordnungen 2 oder 4 oder 5 nur eine Untergruppe. Die muss ein Normalteiler sein, da sie die einzige Gruppe ihrer Ordnung ist.
Also hat die Gruppe G einen nichttrivialen Normalteiler.
Ist dies so richtig? Könntet ihr es nochmal nachprüfen? Wäre echt sehr sehr nett ... vielen, vielen Dank!
Lg Kittycat
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Di 14.10.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
kurze Frage, warum gilt A(4,2) [mm] \in \{1,10\} [/mm] und A(5,3) [mm] \in \{1,8\} [/mm] ?
Wir haben A(4,2) [mm] \equiv [/mm] 2 mod 4, d.h. wir suchen aus der Menge [mm] \{1,2,5,10\} [/mm] die Zahlen, die"geteilt durch 4 Rest 2" haben, oder?
Dann wäre doch A(4,2) [mm] \in \{2,10\} [/mm] ?
Entsprechend mit A(5,3). Allerdings passt es dann mit diesem Widerspruchsbeiweis nicht mehr.
Aber wahrscheinlich habe ich hier etwas noch nicht oder falsch verstanden. Wäre super, wenn mir das jemand erklären könnte 
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:43 Mi 15.10.2008 | | Autor: | statler |
Hi Riley,
ich verweise auf meinen Kommentar zu kittycats Frage.
Gruß
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:41 Mi 15.10.2008 | | Autor: | statler |
Hallo kittycat!
> Habe jetzt folgende Aufgabe versucht folgendermaßen zu
> lösen:
>
> "Zeigen Sie, dass jede Gruppe der Ordnung 40 einen
> nichttrivialen (d.h. [mm]\not=[/mm] {e} und [mm]\not=[/mm] G) Normalteiler
> besitzt."
>
> [mm]|G|=40=2^{3}*5[/mm]
> m=5, p=2, r=3
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] mögliche Ordnungen: 2,4,8,5
>
> Anzahl der Untergruppen von G der Ordnung [mm]p^{s}:[/mm]
>
> A(2,1)=1 mod 2 , A(2,1)|20 [mm]\Rightarrow[/mm] A(2,1) [mm]\in[/mm] {1,5}
> A(4,1)=1 mod 4 , A(4,1)|10 [mm]\Rightarrow[/mm] A(4,1) [mm]\in[/mm] {1,5}
> A(4,2)=2 mod 4 , A(4,2)|10 [mm]\Rightarrow[/mm] A(4,2) [mm]\in[/mm] {1,10}
> A(5,3)=3 mod 5 , A(5,3)|80 [mm]\Rightarrow[/mm] A(5,3) [mm]\in[/mm] {1,8}
Ich zitiere mal kurz aus deiner ursprünglichen Frage:
> A(p,s) ist hier die Anzahl der Untergruppen von G der
> Ordnung [mm]p^{s},[/mm] mit p Primzahl, [mm]|G|=p^{r}*m, 0\le[/mm] s [mm]\le[/mm] r.
Also: In A(x,y) muß das x eine Primzahl sein! A(4,1) und A(4,2) sind also überhaupt nicht definiert. Ob es für p-Gruppen überhaupt solche Anzahlformeln gibt, weiß ich im Moment gar nicht, es gibt sie aber für p-Sylow-Gruppen, also die mit maximalem Exponenten. Dann ist
A(2,3) [mm] \equiv [/mm] 1 (2) und A(2,3)|40
und
A(5,1) [mm] \equiv [/mm] 1 (5) und A(5,1)|40
Jetzt versuch mal, diese Aussagen auszuwerten. Und studier die Sylow-Sätze noch mal genau.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Mi 15.10.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
danke für die Hinweise.
Kann man nich einfach so argumentieren:
A(5,1) [mm] \equiv [/mm] 1 mod 5, [mm] A(5,1)|2^3 [/mm] = 8 [mm] \gdw [/mm] A(5,1) [mm] \in \{1,2,4,8\} [/mm] und die mod-Eigenschaft trifft ja nur auf 1 zu, also ist A(5,1) = 1, d.h. wir haben schon eine Untergruppe gefunden, die Normalteiler ist?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Fr 17.10.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Kann man nich einfach so argumentieren:
Ja, man kann!
> A(5,1) [mm]\equiv[/mm] 1 mod 5, [mm]A(5,1)|2^3[/mm] = 8 [mm]\gdw[/mm] A(5,1) [mm]\in \{1,2,4,8\}[/mm]
> und die mod-Eigenschaft trifft ja nur auf 1 zu, also ist
> A(5,1) = 1, d.h. wir haben schon eine Untergruppe gefunden,
> die Normalteiler ist?
So hatte ich mir das auch gedacht.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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