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Sylowgruppe: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:01 So 20.01.2013
Autor: Klerk91

Aufgabe
Ich habe eine Frage: Wenn ich eine endliche Gruppe habe, weiß ich dann lediglich, dass wenn es eine Primzahl gibt, die die Gruppenordnung teilt, dass zur maximalen Primzahlpotenz eine Untergruppe existiert(nämlich die Sylowgruppe) oder existiert zu jeder Primzahl solch eine Untergruppe ?

Soweit ich weiß, ist nur die Existenz einer solchen Sylowuntergruppe klar, bin mir da aber nicht 100% sicher.
        
Bezug
Sylowgruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:54 So 20.01.2013
Autor: felixf

Moin!

> Ich habe eine Frage: Wenn ich eine endliche Gruppe habe,
> weiß ich dann lediglich, dass wenn es eine Primzahl gibt,
> die die Gruppenordnung teilt, dass zur maximalen
> Primzahlpotenz eine Untergruppe existiert(nämlich die
> Sylowgruppe) oder existiert zu jeder Primzahl solch eine
> Untergruppe ?

Es existiert zu jeder Primzahlpotenz, die die Gruppenordnung teilt, eine entsprechende Untergruppe. Das zeigt man normalerweise bei dem Beweis der Sylowsaetze.

LG Felix

Bezug
                
Bezug
Sylowgruppe: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:23 So 20.01.2013
Autor: Klerk91

Naja 2²=4|60, aber die A5 (alterniedere Gruppe) ist doch einfach. Bist du dir sicher mit deiner Antwort bzw. was übersehe ich?
Bezug
                        
Bezug
Sylowgruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:08 So 20.01.2013
Autor: Teufel

Hi!

Einfache Gruppen haben nur keine nicht trivialen Normalteiler.
Bezug
                                
Bezug
Sylowgruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:12 So 20.01.2013
Autor: Klerk91

verstehe ich nicht, das war ja genau mein Argument.

ich hatte die erste Antwort so verstanden: Zu jeder Primzahlpotenz die die Gruppenordnung teilt existiert eine Untergruppe

Offensichtlich teilt 2² 60 , d.h. es müsste aber eine Untergruppe existieren. Wir wissen jedoch dass die A5 einfach ist, d.h. eine solche kann nicht existieren. Widerspruch.

Die Frage ist: Wo liegt der Irrtum?
Bezug
                                        
Bezug
Sylowgruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:40 So 20.01.2013
Autor: Teufel

Es gibt ja auch Untergruppen, die keine Normalteiler sind. Du kannst eine finden, die 4 Elemente hat, aber diese wird kein Normalteiler sein.
Bezug
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