Surjektivitaet/Injektivitaet m < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Seien A,B und C nicht leere Mengen, und seien f : A → B und g : B → C Abbildungen.
Wenn g ◦ f surjektiv ist und wenn g injektiv ist, dann ist f surjektiv. |
| Aufgabe 2 | Seien A,B und C nicht leere Mengen, und seien f : A → B und g : B → C Abbildungen.
Wenn g◦f injektiv ist und wenn f surjektiv ist, dann ist g injektiv. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich muss sagen ob die Aussagen wahr oder falsch sind.
Ich habe mir stunden ueber stunden gedanken gemacht, aber ich komme einfach nicht drauf, ich versteh das einfach nicht.... Kann mir jemand bitte einen Tipp geben (ich mein ihr koenntet mir auch die loesung sagen aber das bringt mir ja nichts...)
ich hoffe mir kann jemand schnell helfen.
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Hallo,
die Definitionen sind wichtig.
$ f $ ist injektiv genau dann, wenn $ [mm] x_1 \not= x_2 \Rightarrow f(x_1) \not= f(x_2) [/mm] \ \ [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A $
$ f $ ist surjektiv genau dann, wenn $ [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] B \ [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A : f(x) = y $ und dazu Äquivalent $\ f(A) = B $
Sei also $ g [mm] \circ [/mm] f : A [mm] \to [/mm] C $ surjektiv und $ g: B [mm] \to [/mm] C $ injektiv.
Nun überleg' dir mit Hilfe der Definitionen, warum $ f $ zwangsläufig surjektiv sein muss.
Mach dir dazu klar, wie $ g [mm] \circ [/mm] f $ 'aussieht'.
Grüße
ChopSuey
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Also ich habe jetzt die surjektivitaet für $ g [mm] \circ [/mm] f $ aufgestellt:
$ [mm] \forall [/mm] c [mm] \in [/mm] C \ [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] A : g(f(a)) = c $
und da es für jedes c ein b gibt und für jedes c ein a gibt muss es auch für jedes b ein a geben.
also ist die Aussage wahr
oder habe ich da einen Denkfehler?
und zu der 2. Aufgabe(Wenn g◦f injektiv ist und wenn f surjektiv ist, dann ist g injektiv.) da vermute ich, dass es falsch ist, aber eine genaue erklaerung habe ich da nicht, an der erklaerung arbeite ich noch :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 So 10.10.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Also ich habe jetzt die surjektivitaet für [mm]g \circ f[/mm]
> aufgestellt:
>
> [mm]\forall c \in C \ \exists a \in A : g(f(a)) = c[/mm]
>
> und da es für jedes c ein b gibt und für jedes c ein a
> gibt muss es auch für jedes b ein a geben.
>
Keine Ahnung was Du mit den Aussagen meinst, zu jedem c gibt es b und zu jedem c gibt es ein a (mit welchen Eigenschaften denn?)
Versuchs mal so:
Für b [mm] \in [/mm] B ist g(b) [mm] \in [/mm] C. Weil g [mm] \circ [/mm] f surjektiv ist gibt es ein a [mm] \in [/mm] A mit g(f(a)=g(b)
Weil g injektiv ist folgt, f(a) = b. Also gibt es zu jedem b [mm] \in [/mm] B ein a [mm] \in [/mm] A mit f(a)=b. Also ist f surjektiv.
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