Surjektivität/Injektivität < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Mi 28.09.2005 | | Autor: | mykola |
Hallo,
hat jemand eine Idee, die man die folgenden Aufgaben lösen kann?
Seien f: A-->B und g: B-->C Abbildungen.
1) Wenn g°f injektiv ist, und wenn f surjektiv ist, dann ist g injektiv.
2) Wenn g°f surjektiv ist, und wenn g injektiv ist, dann ist f surjektiv.
Zu (1): Sei g(b)=g(b'), dann, weil g°f injektiv ist, folgt a=a'; b,b' [mm] \in [/mm] B, a,a' [mm] \in [/mm] A
Wie mache ich nächsten Schritt und beweise, dass b=b' für alle b,b' [mm] \in [/mm] B?
Zu (2): Wegen der Surjektivität von g°f liegt der ganze Wertebereich C im Bild von g°f. Wegen der Infektivität von g hat jeder c genau ein Urbild. Das bedeutet, dass der ganze Wertebereich B im Bild von f liegt.
Ist diese Gedankenfolge richtig und wie formalisiere ich sie?
Vielen Dank im voraus.
mykola
Ich habe diese Fragen in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Mi 28.09.2005 | | Autor: | statler |
Auch hallo!
> hat jemand eine Idee, die man die folgenden Aufgaben lösen
> kann?
>
> Seien f: A-->B und g: B-->C Abbildungen.
> 1) Wenn g°f injektiv ist, und wenn f surjektiv ist, dann
> ist g injektiv.
> 2) Wenn g°f surjektiv ist, und wenn g injektiv ist, dann
> ist f surjektiv.
>
> Zu (1): Sei g(b)=g(b'), dann, weil g°f injektiv ist, folgt
Weil f surj ist, gibt es a und a' mit f(a) = b und f(a') = b'. Dann ist g(f(a)) = g(b) = g(f(a')). Weil g°f inj ist, ist a = a'. Aber dann ist auch f(a) = f(a'), was zu beweisen war.
> a=a'; b,b' [mm]\in[/mm] B, a,a' [mm]\in[/mm] A
> Wie mache ich nächsten Schritt und beweise, dass b=b' für
> alle b,b' [mm]\in[/mm] B?
>
> Zu (2): Wegen der Surjektivität von g°f liegt der ganze
> Wertebereich C im Bild von g°f. Wegen der Infektivität von
> g hat jeder c genau ein Urbild. Das bedeutet, dass der
> ganze Wertebereich B im Bild von f liegt.
> Ist diese Gedankenfolge richtig und wie formalisiere ich
> sie?
>
Hier habe ich mich im Moment noch verheddert....
Gruß aus HH-Harburg, bis später vielleicht
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Mi 28.09.2005 | | Autor: | statler |
> Hallo,
>
> hat jemand eine Idee, die man die folgenden Aufgaben lösen
> kann?
>
> Seien f: A-->B und g: B-->C Abbildungen.
> 1) Wenn g°f injektiv ist, und wenn f surjektiv ist, dann
> ist g injektiv.
> 2) Wenn g°f surjektiv ist, und wenn g injektiv ist, dann
> ist f surjektiv.
>
> Zu (1): Sei g(b)=g(b'), dann, weil g°f injektiv ist, folgt
> a=a'; b,b' [mm]\in[/mm] B, a,a' [mm]\in[/mm] A
> Wie mache ich nächsten Schritt und beweise, dass b=b' für
> alle b,b' [mm]\in[/mm] B?
>
> Zu (2): Wegen der Surjektivität von g°f liegt der ganze
> Wertebereich C im Bild von g°f. Wegen der Infektivität von
> g hat jeder c genau ein Urbild. Das bedeutet, dass der
> ganze Wertebereich B im Bild von f liegt.
> Ist diese Gedankenfolge richtig und wie formalisiere ich
> sie?
>
Sei b [mm] \varepsilon [/mm] B beliebig mit g(b) = c. Sei a [mm] \varepsilon [/mm] A mit (g°f)(a) = c, das geht wg g°f surj. D. h. g(f(a)) = c.
Wegen g inj folgt b = f(a) qed
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Mi 28.09.2005 | | Autor: | mykola |
Hallo Dieter,
Danke vielmals für Deine Antworten und Deine Mühe.
Der Beweisweg ist mir jetzt absolut klar.
Für einen Anfänger wie ich war das eine relativ schwere Aufgabe.
mykola
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