Surjektive lineare Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:05 Do 01.02.2007 | | Autor: | Creep |
| Aufgabe | Seien K ein Körper, V, W endlichdimensionale K-Vektorräume unf f: V -> W eine surj. lineare Abbildung. Sei A Element Mn,m(K) eine darstellende Matrix von f. Welche der folgenden Aussagen gilt immer?
a) Der Rang von A ist M
b) Das lineare Gleichungssystem Ax=b hat eine Lösung für alle b
c) Das lineare Gleichungssystem Ax=0 hat eine eindeutige Lösung. |
Ich würde mal auf b tippen, weil es ja immer so ist. =) Gilt noch etwas anderes?
|
|
| |
|
> Seien K ein Körper, V, W endlichdimensionale K-Vektorräume
> unf f: V -> W eine surj. lineare Abbildung. Sei A Element
> Mn,m(K) eine darstellende Matrix von f. Welche der
> folgenden Aussagen gilt immer?
>
> a) Der Rang von A ist M
> b) Das lineare Gleichungssystem Ax=b hat eine Lösung für
> alle b
> c) Das lineare Gleichungssystem Ax=0 hat eine eindeutige
> Lösung.
> Ich würde mal auf b tippen, weil es ja immer so ist. =)
> Gilt noch etwas anderes?
Vielleicht - vielleicht auch nicht...
Tippen ist jedenfalls etwas dürftig...
Teil doch mal Deine Gedanken mit.
Gibt's Gegenbeispiele, Begründungen, was läßt Dich wo zweifeln?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:33 Fr 02.02.2007 | | Autor: | Creep |
Also wenn die Matrix vollen Rang hätte, dann hätte auch Ax=0 eine eindeutige Lösung.
Da die Abbildung surjektiv ist existiert natürlich für jedes b eine Lösung, aber ist hier eine eindeutige Lösung gemeint?
|
|
|
| |
|
> Also wenn die Matrix vollen Rang hätte, dann hätte auch
> Ax=0 eine eindeutige Lösung.
Hallo,
Du schreibst: "hätte".
Kannst Du eine surjektive Abbildung angeben, deren Matrix nicht vollen Rang hat? Dann hast Du ein Gegenbeispiel für die Behauptung gefunden.
> Da die Abbildung surjektiv ist existiert natürlich für
> jedes b eine Lösung,
Genau, so etwas meinte ich mit "Begründung".
> aber ist hier eine eindeutige Lösung
> gemeint?
Nein. Wenn da nur "eine" steht, geht es um die pure Existenz einer Lösung, nicht um deren Eindeutigkeit.
Jetzt fehlt Dir ja nur noch a)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:36 Fr 02.02.2007 | | Autor: | Creep |
Ja klar also weil die Abbildung surjektiv ist, hat sie vollen Rang und somit gilt a. B und c hatten wir ja schon erläutert.
Also die triviale Lösung ist Lösung von Ax=0 und somit eindeutig?
Eine surjektive Abbildung hat immer den vollen Rang, deswegen sind ja alle 3 Aussagen richtig.
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich möchte den vollen Rang problematisieren:
Ist Dir eigentlich klar, daß die Matrizen, die hier betrachtet werden, nicht quadratisch sein müssen?
"Vollen Rang" gibt's doch nur bei quadratischen. Oder?
Gruß v. Angela
|
|
|
|
