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| Aufgabe | Existiert eine surjektive Abbildung von
a) [mm] \IN\ [/mm] nach [mm] \produkt_{i\in\left\{ 0,1 \right\}}\IN\
[/mm]
b) [mm] \IN\ [/mm] nach [mm] {\produkt_{i\in\IN}}\left\{ 0,1 \right\} [/mm] |
Zuerst: Wo liegt der Unterschied der beiden Aufgaben? In der Zielmenge, aber wie kann ich mir die explizit vorstellen?
Lieben Dank =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:03 Mi 30.10.2013 | | Autor: | hippias |
> Existiert eine surjektive Abbildung von
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> a) [mm]\IN\[/mm] nach [mm] \produkt_{i\in\left\{ 0,1 \right\}}\IN\[/mm]
>
> b) [mm]\IN\[/mm] nach [mm]{\produkt_{i\in\IN}}\left\{ 0,1 \right\}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Zuerst: Wo liegt der Unterschied der beiden Aufgaben? In
> der Zielmenge, aber wie kann ich mir die explizit
> vorstellen?
$\produkt_{i\in\left\{ 0,1 \right\}}\IN= \IN\times \IN$ und $\produkt_{i\in\IN}}\left\{ 0,1 \right\}= \{0,1\}\times \{0,1\}\times \{0,1\}\ldots$.
> Lieben Dank =)
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Danke, du hast mir schon sehr weitergeholfen =)
Trotzdem kann ich die Frage, ob eine surjektive Abbildung existiert noch nicht beantworten. Für mich ist es schwer nachvollziehbar, dass jeder Wert der Zielmenge, damit die Abbildung surjektiv ist, angenommen werden muss. Aber wir kann ich von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IN \times \IN [/mm] abbilden? Man kann [mm] \IN \times \IN [/mm] ja auch schreiben wie: [mm] \left\{ (n,m), n \in \IN, m \in \IN \right\} [/mm] also als Tupel. Ich versteh nicht, wie ich eine Zahl auf ein TUpel abbilden kann.
ICh habe den Tipp bekommen, evtl mit dem cantorschen Diagonalverfahren zu beweisen, dass die Mächtigkeit von [mm] \IN \times \IN [/mm] mit der Mächtigkeit von [mm] \IN [/mm] gleich ist. Aber was bringt mir das? Und gibt es nicht eine einfachere Lösung? ;)
Lieben Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:43 Do 31.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke, du hast mir schon sehr weitergeholfen =)
>
> Trotzdem kann ich die Frage, ob eine surjektive Abbildung
> existiert noch nicht beantworten. Für mich ist es schwer
> nachvollziehbar, dass jeder Wert der Zielmenge, damit die
> Abbildung surjektiv ist, angenommen werden muss. Aber wir
> kann ich von [mm]\IN[/mm] nach [mm]\IN \times \IN[/mm] abbilden? Man kann
> [mm]\IN \times \IN[/mm] ja auch schreiben wie: [mm]\left\{ (n,m), n \in \IN, m \in \IN \right\}[/mm]
> also als Tupel. Ich versteh nicht, wie ich eine Zahl auf
> ein TUpel abbilden kann.
> ICh habe den Tipp bekommen, evtl mit dem cantorschen
> Diagonalverfahren zu beweisen, dass die Mächtigkeit von
> [mm]\IN \times \IN[/mm] mit der Mächtigkeit von [mm]\IN[/mm] gleich ist.
Prima.
> Aber was bringt mir das?
Das was Du willst !
> Und gibt es nicht eine einfachere
> Lösung? ;)
Nicht dass ich wüsste...
FRED
>
> Lieben Dank
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Stimmt das, dass ich dann praktisch der natürlichen Zahl 1 das Tupel (1,1)zuordnen würde, der 2 das Tupel (2,1), der 3 das Tupel (3,1) der 4 das TUpel (2,2)der 5 die (2,3) etc...? also dass wenn (2,3) oder (3,2)vorkommt, ich das als nur ein Tupel lese? Obwohl die Reihenfolge bei Tupeln wichtig ist?
Und wie geht dann der Teil b der Aufgabe?
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Hallo,
> Stimmt das, dass ich dann praktisch der natürlichen Zahl 1
> das Tupel (1,1)zuordnen würde, der 2 das Tupel (2,1), der
> 3 das Tupel (3,1) der 4 das TUpel (2,2)der 5 die (2,3)
> etc...? also dass wenn (2,3) oder (3,2)vorkommt, ich das
> als nur ein Tupel lese? Obwohl die Reihenfolge bei Tupeln
> wichtig ist?
>
Na ja, wenn du das nach Cantor machen möchtest, ist die Reihenfolge schon wichtig. Mach dir mal eine Tabelle, bezeichne Zeilen- und Spaltenköpfe mit den ersten natürlichen Zahlen und fasse jedes Tupel (a,b) als Eintag in der a. Spalte und der b. Zeile auf (oder anders herum).
Jetzt verfolge mal den Weg über die Tupel (1;1), (2;1), (1;2), (1;3), (2;2), (3;1), (4;1), (3;2), ...
Dann sollte dir auch der Begriff Diagonalverfahren wieder klar werden. 
> Und wie geht dann der Teil b der Aufgabe?
Bei b) ist zu zeigen, dass keine surjektive Abbildung existiert. Vielleicht beginnst du damit, dir die Mächtigkeit dieser Zielmenge vor Augen zu führen. Dann sollte es ja schon klar werden, weshalb es keine surjektive Abbildung der geforderten Art gibt. Um das zu zeigen, könnte man auch wieder Cantor mit seinem 2. Diagonalverfahren bemühen, das wäre zumindest mein Vorschlag.
Gruß, Diophant
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> Hallo,
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> > Stimmt das, dass ich dann praktisch der natürlichen Zahl
> 1
> > das Tupel (1,1)zuordnen würde, der 2 das Tupel (2,1),
> der
> > 3 das Tupel (3,1) der 4 das TUpel (2,2)der 5 die (2,3)
> > etc...? also dass wenn (2,3) oder (3,2)vorkommt, ich
> das
> > als nur ein Tupel lese? Obwohl die Reihenfolge bei
> Tupeln
> > wichtig ist?
> >
>
> Na ja, wenn du das nach Cantor machen möchtest, ist die
> Reihenfolge schon wichtig. Mach dir mal eine Tabelle,
> bezeichne Zeilen- und Spaltenköpfe mit den ersten
> natürlichen Zahlen und fasse jedes Tupel (a,b) als Eintag
> in der a. Spalte und der b. Zeile auf (oder anders herum).
>
> Jetzt verfolge mal den Weg über die Tupel (1;1), (2;1),
> (1;2), (1;3), (2;2), (3;1), (4;1), (3;2), ...
>
> Dann sollte dir auch der Begriff Diagonalverfahren wieder
> klar werden.
Genau das hatte ich gemacht, hatte die Tabelle nur andersrum also von (1,1), (1,2) (2,1) (3,1) (2,2) (1,3) (1,4)... gelesen. Aber das ist ja egal, oder? Also der 5 wird dann doch die (1,4)zugeordnet. Das war ein Fehler vorhin. Aber meine Frage war: Beim Diagonalverfahren zählt man ja nur die "neuen" Tupel. Sind die Tupel, die hier nicht mehr gezählt werden, die, die bei denen n und m vertauscht sind, also z.B. (2,3) und (3,2) oder die, bei denen m=n gilt, also (2,2) oder (3,3),..? Weil das Tupel (2,3) kommt in der gemachten Tabelle ja nur einmal und nicht doppelt vor?! Und hab ich danach schon die gleiche Mächtigkeit gezeigt, oder muss ich wie bei Wikipedia in dem Beispiel der rationalen und der natürlichen Zahlen die Abzählung erweitern?
>
> > Und wie geht dann der Teil b der Aufgabe?
>
> Bei b) ist zu zeigen, dass keine surjektive Abbildung
> existiert. Vielleicht beginnst du damit, dir die
> Mächtigkeit dieser Zielmenge vor Augen zu führen. Dann
> sollte es ja schon klar werden, weshalb es keine surjektive
> Abbildung der geforderten Art gibt. Um das zu zeigen,
> könnte man auch wieder Cantor mit seinem 2.
> Diagonalverfahren bemühen, das wäre zumindest mein
> Vorschlag.
>
ok, eine Surjektive abbildung existiert ja generell nicht, wenn die Zielmenge kleiner als die Definitionsmenge ist. Ich werde mir das 2.te Diagonalverfahren mal anschauen. Danke =)
>
> Gruß, Diophant
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ups, meine letzte Aussage stimmt nicht ganz so. Ich meine, wenn nicht alle Elemente der Zielmenge getroffen werden, kann es sich nicht um eine surjektive Abbildung handeln
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Hallo,
> Genau das hatte ich gemacht, hatte die Tabelle nur
> andersrum also von (1,1), (1,2) (2,1) (3,1) (2,2) (1,3)
> (1,4)... gelesen. Aber das ist ja egal, oder? Also der 5
> wird dann doch die (1,4)zugeordnet. Das war ein Fehler
> vorhin.
Ok, kann auch sein, dass ich mich verlesen habe.
> Aber meine Frage war: Beim Diagonalverfahren zählt
> man ja nur die "neuen" Tupel. Sind die Tupel, die hier
> nicht mehr gezählt werden, die, die bei denen n und m
> vertauscht sind, also z.B. (2,3) und (3,2) oder die, bei
> denen m=n gilt, also (2,2) oder (3,3),..? Weil das Tupel
> (2,3) kommt in der gemachten Tabelle ja nur einmal und
> nicht doppelt vor?!
Hier musst du aufpassen. Die Entstehungsgeschichte ist ja der Beweis, dass die rationalen Zahlen abzählbar sind. Dabei lässt Cantor jede rationale Zahl, die mehrfach vorkommt (nämlich erweitert) weg. Das müsste er nicht tun, wenn es ihm allein um die Abzählbarkeit ginge. Aber bedenke mal die Cantorsche Definition von Mengen (die ja auch die unsere ist): da kommt es schon von daher nicht in Frage, Elemente mehrfach drin zu haben.
In deinem Fall geht es um Tupel, da sind ja die einzelnen Zahlen nicht durch eine wie auch immer geartete Rechenoperation verknüpft. Von daher kommt jedes Tupel genau einmal vor!
> Und hab ich danach schon die gleiche
> Mächtigkeit gezeigt, oder muss ich wie bei Wikipedia in
> dem Beispiel der rationalen und der natürlichen Zahlen die
> Abzählung erweitern?
Ich weiß nicht, was du hier meinst, aber du hast mit dem Hinweis, dass das Diagionalverfahren möglich ist, die Gleichmächtigkeit und die Surjektivität gezeigt. Denn jedes Tupel aus [mm] \IN^2 [/mm] kommt in deiner Tabelle vor, denn das ist ja nichts anderes als eine Wertetabelle deiner Funktion!
Gruß, Diophant
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ok den Aufgabenteil a müsste ich jetzt verstanden haben.
Bei b) hab ich noch eine, zugegeben dumme, Frage: ist mit {0,1} das Intervall gemeint? dann würde ich einfach, um die Aussage zu beweisen, dass es keine surjektive Abbildung gibt, einen Gegenbeweis machen. Und zwar i=1 wählen und dann müsste man ja zeigen, dass es keine surj. Abb. von [mm] \IN [/mm] nach {0,1} gibt. Dann würde ich wie bei Wikipedia zeigen, dass es immer eine Zahl gibt, die nicht getroffen wird. Aber das ist hier das Problem: es gibt ja keine natürliche Zahl zwischen der 0 und der 1...und wie kann ich mir [mm] das \left\{ 0,1 \right\}\times\left\{ 0,1 \right\}\times\left\{ 0,1 \right\}\times\left\{ 0,1 \right\}\times"bildlich" [/mm] vorstellen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:20 Di 05.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
denk dran dass man reelle zahlen auch im dualsystem schreiben kann, dann Cantors 2 tes Verfahren.
Gruß leduart
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